回路理論

二つのコイルが磁束を分け合うとき生じる相互インダクタンス M = k√(L₁L₂)。結合係数 k を自分で掃き、天井 √(L₁L₂) へ近づく M を見る。

結合コイルの相互項の符号を一つのドットで記す約束。加極性と減極性を切り替え、Lₜ = L₁ + L₂ ± 2M の符号がどう変わるかを見る。

線形2端子回路は電源一つと抵抗一つに畳まれる。負荷R_Lを自分で掃いて端子V-Iが一本の直線になることを見、端子電圧が半分になる負荷がR_thであることを確かめる。

線形回路の応答は、各電源が単独で作る応答の和だ。二つの電源を入れたり切ったりして、電源ごとの枝電流を足すと両方入れたときと等しくなることを見る。

交流インピーダンスは複素数 Z = R + jX だ。リアクタンス X を自分で掃いてインピーダンス三角形が起き上がるのを見、リアクタンスが抵抗と等しくなった瞬間に位相がちょうど45度になることを確かめる。

コンデンサの充電は指数曲線で、時定数 τ = RC 一つで63%を埋める。時間を自分で掃いて曲線を追い、最終値の63%に達する瞬間がτであることを確かめる。

直列RLCのステップ応答の形は、減衰比 ζ = (R/2)√(C/L) 一つが決める。ζを自分で掃いて、振動(ζ<1)と緩慢(ζ>1)の間で、オーバーシュートなしに最も速い臨界減衰ζ=1を見つける。

一次RCローパスは低い周波数を通し高い周波数を遮る。周波数を自分で掃いて振幅応答を追い、出力が1/√2(−3dB)に落ちる遮断周波数 ω_c = 1/RC を見つける。

負帰還をかけた理想オペアンプは二つの入力を等しくし(仮想短絡)、入力電流が0だ。フィードバック比 Rf/Rg を自分で掃いて利得 G = 1 + Rf/Rg を×3に設計する。

直列RLCで誘導・容量リアクタンスが打ち消し合う共振周波数 ω_0 = 1/√(LC) でインピーダンスが最小・電流が最大になる。周波数を自分で掃いて電流が跳ね上がる共振ピークを見つける。

テブナン電源につなぐ負荷電力は R_L = R_th(整合)のとき最大だ。負荷抵抗を自分で掃いて電力曲線の頂点を見つけ、そのとき効率が50%であることを確かめる。

皮相電力 S は有効電力 P と無効電力 Q の直角和で、力率は cosθ = P/S だ。位相角 θ を自分で掃いて電力三角形を傾け、すべてが仕事になる力率1(θ=0)を見つける。

同じ箱を電圧源直列(テブナン)でも電流源並列(ノートン)でも書ける。ノートン電流 I_N を自分で掃いて二つの V-I 直線が重なる所を見つけ、V_th = I_N·R_th の変換を見る。

ラプラスの極 s = σ + jω が時間応答 e^(σt)cos(ωt) を定める。極の実部 σ を自分で掃いて応答が消えたり発散したりするのを見、安定と不安定を分ける虚軸の境界を見つける。

ローパスと同じRCだが、抵抗から出力を取るとハイパスになる。周波数を自分で掃いて振幅応答を追い、出力が1/√2(−3dB)に上がる遮断周波数 ω_c = 1/RC を見つける。

四つの抵抗をダイアモンドに繋いだブリッジは、向かい合う二つの比が等しいとき検出器電圧が0になる。標準抵抗を自分で掃いて検出器が0になる平衡点を見つけ、未知の抵抗を読む。

コンデンサは ½CV²、インダクタは ½LI² でエネルギーを蓄え、電圧・電流の二乗に比例する。電圧を自分で掃いて二乗曲線を追い、蓄積エネルギーが目標 18 mJ になる電圧を合わせる。

バンドパスフィルタの半値帯域幅は BW = ω_0/Q だ。尖鋭度 Q を自分で掃いて通過帯域が狭まるのを見、帯域幅が目標 0.25 になる Q を見つける。

非反転入力を接地に繋ぐと、仮想短絡が反転入力を0Vの仮想接地にする。フィードバック比 Rf/Rin を自分で掃いて利得 −Rf/Rin を −4 に設計する。

ボード線図は利得をデシベル(20·log10|H|)、周波数を対数で描き、1次応答を二本の直線で近似する。周波数を自分で掃いて、実際の曲線と点近線の差が3dBで最大になる角を見つける。

正弦波の実効値は振幅/√2で、同じ平均電力を出す等価直流だ(P = V_rms²/R)。振幅を自分で掃いて、実効値が目標220Vになる山(約311V)を見つける。

一つの節点に出入りする電流の代数和は0だ(電荷保存)。未知の枝電流を自分で掃いて、節点電流の和がちょうど0になる点を見つけ、未知の電流を解く。

一つの閉じた環を一周した電圧の上昇と降下の代数和は0だ(エネルギー保存)。未知の電圧降下を自分で掃いて、環電圧の和がちょうど0になる点を見つけ、未知の電圧を解く。

どんな周期波形も基本波と整数倍高調波の和だ(フーリエ)。矩形波は奇数高調波の和で、高調波の数を自分で増やして和が次第に矩形波へ近づくのを見る。

反転増幅器のフィードバック抵抗をコンデンサに替えると、出力は入力の積分 Vout = −(1/RC)∫Vin dt になる。入力電圧を自分で掃いて、出力ランプが目標 −4V に届く入力を見つける。

反転増幅器の入力抵抗をコンデンサに替えると、出力は入力の微分 Vout = −RC·dVin/dt になる。入力ランプの傾きを自分で掃いて、出力が目標 −4V に座る傾きを見つける。

コンデンサは抵抗と逆だ。並列は容量が足され(C_p = C1 + C2)、直列は逆数が足される(1/C_s = 1/C1 + 1/C2)。C2 を自分で掃いて、並列容量が目標 10μF に届く値を見つける。

インダクタは抵抗と同じ側だ。直列はインダクタンスが足され(L_s = L1 + L2)、並列は逆数が足される(1/L_p = 1/L1 + 1/L2)。L2 を自分で掃いて、直列インダクタンスが目標 10mH に届く値を見つける。

直列につないだ二つの抵抗は同じ電流を通し、電源電圧を抵抗比で分ける。出力は V_out = V_in·R2/(R1+R2)。R2 を自分で掃いて、出力が目標 8V に届く値を見つける。

分圧の鏡。並列に分かれた二つの枝は同じ電圧がかかり、電源電流をコンダクタンス比で分ける。R2 枝の電流は I_2 = I_in·R1/(R1+R2) で反対側の抵抗が分子だ。R2 を自分で掃いて、枝電流が目標 4mA に届く値を見つける。

RC過渡の鏡。インダクタ電流は指数曲線で立ち上がり、時定数 τ = L/R 一回で最終値 I = V/R まで残った距離の63%を埋める。時間 t を自分で掃いて、電流が63%に達する瞬間 τ を見つける。

反転増幅器の鏡。入力を非反転入力に入れると仮想短絡が V− を Vin に保ち、Rf-Rg 帰還分圧器が利得を 1+Rf/Rg に定める。符号は保たれ利得は常に1以上。抵抗比 Rf/Rg を自分で掃いて、利得が目標4に届く値を見つける。

直列でも並列でもない回路を解く道具。三端子を共有する三角形(Δ)と星(Y)を、端子で同じに見えるよう入れ替える。均衡なら星の腕は三角形の辺の3分の1、R_Y = R_Δ/3。R_Y を自分で掃いて、二つの網が等価になる値を見つける。

AC定常状態の土台。同じ周波数の正弦波 A cos(ωt+φ) を回転矢印 A∠φ として書くと、正弦波の足し算が矢印のベクトル和になる。長さ3と4が直角なら合成は5。位相φを自分で掃いて、合成振幅が目標5に届く値を見つける。

相互インダクタンスの集大成。完全結合した二つのコイルは巻数比 n = N2/N1 で電圧を上げた分だけ電流を下げる。V2 = n·V1、I2 = I1/n、インピーダンスは Z_in = Z_L/n² と二乗変換。巻数比を自分で掃いて、二次電圧が目標 25V に届く値を見つける。

一方の信号を非反転(+)に、もう一方を反転(−)に入れて二つの差だけを増幅する。対の抵抗なら Vout = (Rf/R1)(V2 − V1)、同相成分(共通雑音)は相殺して消える。V2 を自分で掃いて、出力が目標 6V に届く値を見つける。

jω を複素周波数 s に広げるとインダクタは sL、コンデンサは 1/sC。回路は s の分圧となり伝達関数 H(s) が出る。RC低域通過 H(s)=1/(1+sRC) の極 −1/RC が過渡・遮断・直流利得を一度に定める。時定数 τ を自分で掃いて極を目標 −2 に合わせる。

直流最大電力伝達(CR-MP)の交流拡張。交流では抵抗だけ合わせても足りない。負荷リアクタンスで電源リアクタンスを相殺し(X_L=−X_s)抵抗を合わせると、負荷は電源の共役 Z_L=Z_s*=R_s−jX_s になり電力が最大。負荷リアクタンス X_L を自分で掃いて電力の山を見つける。

直列共振(CR-RE)の双対な鏡。並列ではサセプタンス ωC と 1/ωL が ω_0=1/√(LC) で相殺し、インピーダンスが最大(=R)、電源電流が最小になる。しかしタンク内では L と C が電源電流の Q 倍を交わす(電流増幅)。周波数を自分で掃いて共振を見つける。

過渡とリアクタンスの根。抵抗と違いコンデンサ・インダクタは値ではなく変化率に反応する。極板電荷 q=Cv から i=C·dv/dt が出て、インダクタはその鏡 v=L·di/dt。電圧の変化率 dv/dt を自分で掃いて、電流が目標4に届く傾きを見つける。

バンドパス(CR-BW)の補完、四大基本フィルタの完成。直列RLCで出力を直列 L・C の両端から取ると、共振 ω_0=1/√(LC) で LC が短絡(Z=0)になり出力が0に沈む。一つの周波数だけ捨てる帯域阻止。周波数を自分で掃いてノッチを見つける。

すべてのオペアンプ回路の土台。負帰還の閉ループ利得は G=A/(1+Aβ)。ループ利得 Aβ が大きいと A が約分され G≈1/β となり、利得は精密な帰還 β で定まる(利得鈍感化)。生の利得 A を自分で掃いて、G が理想値 1/β=10 に固定されるのを見る。