s平面の極と安定性
極は虚軸のどちら側にあるか
左は一組の極を打った複素平面で、右はその極が生み出す時間応答です。極の実部 σ を変えると、虚軸の左側では応答が揺れながらしだいに収まり、右側では手に負えないほど大きくなります。安定と不安定を分ける境界である虚軸 σ = 0 を探してください。
極が時間応答の設計図
ラプラス変換では、微分 d/dt は s の掛け算になります。そのため回路の微分方程式は s についての代数方程式に変わり、その分母を 0 にする s の値が極です。極の一つひとつ、s = σ + jω は、時間領域で e^(σt)cos(ωt) という応答のかけらを一つずつ生みます。回路全体の自然なふるまいは、こうしたかけらを足し合わせたものです。
実部が生きるか死ぬかを決める
応答のかけら e^(σt)cos(ωt) で、cos は −1 と 1 の間を行き来するだけで、大きさを増やしたり減らしたりするのは前についた e^(σt) です。σ が負ならこの包絡線は 0 に収束して応答は収まり(安定)、σ が正なら包絡線が限りなく大きくなって応答は発散します(不安定)。σ がちょうど 0 なら包絡線は 1 で一定となり、振動が減りも増えもしない境界の状態になります。
虚部は振動の速さ
極の虚部 ω は、応答がどれだけ速く揺れるかを決めます。ω が大きければ速く振動し、ω が 0 なら振動せず指数関数の形でだけ変化します。そのため一組の極の位置 (σ, ω) を見るだけで、その回路が安定か、つまり極が虚軸の左にあるかどうかと、どれだけ揺れるかを一目で読み取れます。この図は ω を 6 rad/s に固定し、σ だけを動かしています。正弦波定常状態の jω 応答は、極を虚軸の上に持ってきた特別な場合です。
最初の画面に戻ると
極を左に置くと、時間応答は揺れながらもしだいに収まり、右へ移すと同じ振動が手に負えないほど大きくなりました。虚軸 σ = 0 では、振動が減りも増えもしない境界でした。回路が安定かという大きな問いが、極が平面のどちら側にあるかという一点に凝縮されたのです。