CR · s領域
s平面の極と安定性
ラプラス変換は微分を s の掛け算に変え、回路の挙動を一つの点、極に圧縮する。その点が平面のどこにあるかが、応答が消えるか発散するかを決めることを学ぶ。
極は虚軸のどちら側にあるか
極の実部 σ を動かそう。左にあれば応答は次第に消え、右にあれば手に負えないほど大きくなる。安定と不安定を分ける境界、虚軸 σ = 0 を探せ。
極の実部 σσ = -0.80
応答の領域
安定 · 減衰
境界から遠い
極が時間応答の設計図
ラプラス変換では微分 d/dt は s の掛け算になる。だから回路の微分方程式は s に関する代数方程式となり、その分母を0にする s の値が極だ。各極 s = σ + jω は時間領域で e^(σt)cos(ωt) という一片の応答を生む。回路全体の自然な挙動はこうした片の和だ。
実部が生きるか死ぬかを決める
応答片 e^(σt)cos(ωt) で cos は −1 と 1 の間を行き来するだけで、大きさを増やすか減らすかは前の e^(σt) だ。σ が負ならこの包絡線が0へ収束して応答は消え(安定)、σ が正なら包絡線が限りなく大きくなり発散する(不安定)。σ がちょうど0なら包絡線は1で一定となり、振動が減りも増えもしない境界状態になる。
虚部は振動の速さ
極の虚部 ω は応答がどれだけ速く揺れるかを決める。ω が大きいと速く振動し、ω が0なら振動なく指数的にのみ変化する。だから極一対の位置 (σ, ω) を見るだけで、その回路が安定か(左か)とどれだけ揺れるか(虚軸からどれだけ離れたか)を一目で読める。定常状態の jω 応答は極を虚軸に置いた特別な場合だ。
観察s = σ + jω → |resp| ∝ eσt
実部が包絡線を作る。
選ぶσ < 0 → eσt ?
左半平面なら0へ消える。
空欄 → σ = ?
虚軸が安定の境界。
自分で → ?
虚部が振動の速さ。
最初の画面に戻ると
極を左に置くと時間応答は揺れながらも次第に収まり、右へ移すと同じ振動が手に負えないほど大きくなった。虚軸 σ = 0 では振動が減りも増えもしない境界だった。回路の安定性という大きな問いが、極が平面のどちら側にあるかという一つに圧縮された。
ラプラス変換は微分 d/dt を s の掛け算に変え、回路を代数で解く。分母を0にする極 s = σ + jω が時間応答 eσtcos(ωt) を定める。実部 σ が安定性を分ける — σ < 0(左半平面)なら消えて安定、σ = 0(虚軸)なら境界、σ > 0(右半平面)なら発散して不安定。虚部 ω は振動の速さだ。