デルタ-スター(Δ-Y)変換
星の腕は平衡三角形の一辺の3分の1
左は三辺がすべて R_Δ = 9Ω の平衡三角形(Δ)、右は三本の腕がすべて R_Y で等しい星(Y)です。二つの網は同じ三つの端子 A、B、C をもち、外から見分けがつかないためには、どの二端子間の抵抗も等しくなければなりません。三角形は端子間が 6Ω に決まっていて(= 2/3·R_Δ)、星は 2·R_Y です。R_Y を動かして、星が三角形とまったく同じに見える値を探してください。合うと、二つの網の抵抗と中央の ≡ 記号が金色に変わります。
直並列では解けない回路
ブリッジ回路のように、どの抵抗も他の抵抗と純粋な直列や並列をつくらない配置があります。ホイートストンブリッジが平衡していないと、中央の枝のせいで直並列のまとめ方がそのまま止まってしまいます。このとき三つの端子を共有する三角形(Δ)のまとまりを星(Y)のまとまりに、あるいはその逆に取り替えると、ふさがっていた直並列の道が再び開けます。外側の三つの端子で同じようにふるまう限り、回路の残りの部分から見れば二つの姿はまったく同じ部品です。
端子で同じに見えるように合わせる
平衡三角形で二端子間の抵抗を測ると、その二端子を結ぶ一辺 R_Δ が、残りの二辺を直列にした 2R_Δ と並列になっています。そのため R_Δ ∥ 2R_Δ = (R_Δ·2R_Δ)/(3R_Δ) = (2/3)R_Δ です。平衡星では二端子間は二本の腕が直列になるだけなので 2R_Y です。二つの網が同じに見えるには 2R_Y = (2/3)R_Δ、つまり R_Y = R_Δ/3 でなければならず、だから 9Ω の三角形と 3Ω の星は端子では見分けがつきません。星の腕のほうが小さいのは、端子から中心まで一区間しか通らず、その区間が二つ集まってはじめて端子間になるからです。
一般式と逆向きの変換
辺がばらばらの三角形も、同じ原理で星に変えます。星の一本の腕は、その端子に接する三角形の二辺の積を三辺の和で割った値で、R_a = R_ab·R_ca/(R_ab+R_bc+R_ca)。三辺が等しければ積は R_Δ²、和は 3R_Δ なので R_Δ/3 に戻ります。逆に星を三角形に広げるときは、腕を二本ずつ掛けて足した値を、その辺と向かい合う腕で割ります。平衡していないホイートストンブリッジの上側の三角形をこの変換で星に広げると、残りの回路は直並列できれいに解けます。
最初の画面に戻ると
星の腕 R_Y を動かすと星の端子間抵抗 2R_Y が伸び、R_Y = 3Ω で三角形の 6Ω とぴったり合って、二つの網の抵抗と ≡ 記号が金色に変わりました。平衡三角形の一辺 9Ω が、星では 3分の1 の 3Ω の腕に折りたたまれたわけです。理由は単純で、三角形は端子間が一辺と二辺の並列なので (2/3)R_Δ、星は二本の腕の直列なので 2R_Y、両者を等しくおけば R_Y = R_Δ/3 です。この一回の取り替えが、直並列で行き詰まったブリッジを解く鍵です。