デルタ-スター(Δ-Y)変換
星の腕は均衡三角形の一辺の3分の1
三辺が R_Δ = 9Ω で等しい均衡三角形(Δ)と、三本の腕が R_Y で等しい星(Y)が同じ三端子 A, B, C を共有する。二つの網が外から区別できないためには、どの二端子間の抵抗も等しくなければならない。三角形は端子間が6Ωで固定(= 2/3·R_Δ)、星は2·R_Y だ。R_Y を動かして、星が三角形と同じに見える値を見つけよ。
直並列で解けない回路
ブリッジ回路のように、どの抵抗も他と純粋な直列でも並列でもない配置がある。ホイートストンブリッジが平衡でないと、中央の枝のせいで直並列簡約がぴたりと止まる。三端子を共有する三角形(Δ)の塊を星(Y)の塊に、あるいは逆に変えると、塞がっていた直並列の道が再び開く。二つの姿が外の三端子で同じに振る舞う限り、回路の残りにとっては完全に同じ部品だ。
端子から同じに見えるよう合わせる
均衡三角形の二端子間の抵抗を測ろう。一辺 R_Δ が残り二辺の直列 2R_Δ と並列なので、R_Δ ∥ 2R_Δ = (R_Δ·2R_Δ)/(3R_Δ) = (2/3)R_Δ だ。均衡星では二端子間は二本の腕の直列にすぎず 2R_Y。二つの網が同じに見えるには 2R_Y = (2/3)R_Δ、すなわち R_Y = R_Δ/3。だから9Ωの三角形は3Ωの星と端子で区別できない。星の腕が小さいのは、端子から中心まで一区間しか通らないからだ。
一般式と逆変換
辺がばらばらの三角形も同じ原理で星に変える。星の一本の腕は、その端子に触れる三角形の二辺の積を三辺の和で割った値だ。R_a = R_ab·R_ca/(R_ab+R_bc+R_ca)。三辺が等しいと積が R_Δ²、和が 3R_Δ なので R_Δ/3 に戻る。逆に星を三角形に開くときは、二腕ずつの積の和を向かいの腕で割る。平衡でないホイートストンブリッジの中央の三角形をこの変換で一度星に開けば、残りの回路が直並列できれいに解ける。
最初の画面に戻ると
星の腕 R_Y を動かすと星の端子抵抗 2R_Y が育ち、R_Y = 3Ω で三角形の6Ωとぴたり合い、二つの網は端子で区別できなくなった。均衡三角形の一辺9Ωが星では3分の1の3Ωの腕に折りたたまれたのだ。理由は単純だった。三角形は端子間が一辺と二辺の並列で (2/3)R_Δ、星は二本の腕の直列で 2R_Y、両者を等しくおけば R_Y = R_Δ/3。この一度の入れ替えが、直並列で塞がっていたブリッジを解く鍵だ。