フェーザ: 回転する矢印
直角で出会う3と4は5になる
長さ3の矢印(A1、基準0度)に長さ4の矢印(A2)を位相φだけ回して端と端でつなぐ。二つを一つの正弦波に合わせると、振幅は二つの矢印を足した合成矢印の長さRだ。φを動かして合成振幅がちょうど5になるよう合わせよ。そこがまさに二つの矢印が直角(90度)で出会う場所だ。
一つの正弦波が一本の矢印
正弦波 A cos(ωt+φ) は、長さA、出発角度φで一定に回る矢印の影だ。矢印が ωt だけ回るとき、その横の影がその瞬間の正弦波の値だ。だから絶えず揺れる正弦波を、揺れは忘れて長さAと位相φの二つの数だけで書く。これをフェーザ A∠φ という。同じ周波数ならどれも同じ速さで回るので、互いの相対角度だけが変わらず残る。
同じ周波数は矢印で足す
同じ周波数の二つの正弦波を足すと、結果もその周波数の正弦波だ。振幅と位相だけが新たに決まり、その二つは二本のフェーザ矢印を端と端でつないだベクトル和が正確に教える。合成矢印の横成分は A1 + A2 cosφ、縦成分は A2 sinφ で、合成振幅はその斜辺 R = √((A1+A2cosφ)² + (A2sinφ)²) = √(A1² + A2² + 2A1A2 cosφ) だ。三角関数の恒等式を覚えなくても、一枚の絵が足し算を終える。
直角なら平方和の平方根
二本の矢印が90度で出会うと cosφ が0なので中央の項が消え、R = √(A1² + A2²) だけが残る。直角三角形の斜辺、すなわち3と4が5になるあの関係だ。この直角の足し算が交流のあちこちに潜む。インピーダンスでは抵抗RとリアクタンスXが90度で足されて |Z| = √(R²+X²) になり、電力では有効電力Pと無効電力Qが90度で足されて皮相電力 S = √(P²+Q²) になる。すべて同じ一枚の矢印の絵だ。
最初の画面に戻ると
位相φを動かすと合成矢印の長さは7から1まで変わり、ちょうど5になったのはφ = 90度、二本の矢印が直角で出会ったときだった。長さ3と4が直角なら斜辺は5、あの馴染みの直角三角形がそのまま正弦波の足し算だった。揺れる正弦波を回転矢印として見る一度の視点転換が、三角関数の格闘を矢印つなぎに変える。インピーダンスも電力三角形も結局この一枚の絵から出る。