伝達関数と一般化インピーダンス
一つの極が過渡と遮断を共に定める
RC低域通過を一般化インピーダンスで見ると H(s) = (1/sC)/(R + 1/sC) = 1/(1+sRC) だ。分母を0にする極は s = −1/(RC) = −1/τ で、s平面の負の実軸に乗る。時定数 τ を動かして極を目標 s = −2 に合わせよ。その極がそのまま過渡の速さ e^(−t/τ) であり周波数遮断 ω_c = 1/τ だ。
jω を s に広げる
正弦波定常状態でインピーダンスは jω で書いた。インダクタは jωL、コンデンサは 1/jωC だ。この jω を複素周波数 s = σ + jω に一般化すると、インダクタは sL、コンデンサは 1/sC になる。s = jω(σ=0)とすれば正弦波定常状態にそのまま戻り、s が実部 σ を持てば増大・減衰する過渡まで同じインピーダンスに収まる。抵抗は周波数に依らずそのまま R だ。この一度の拡張が定常状態と過渡を同じ言葉で結ぶ。
回路は s の分圧
一般化インピーダンスで見れば、直列の二素子は依然として分圧器だ。RC低域通過で出力をコンデンサの両端から取ると H(s) = Vout/Vin = Z_C/(Z_R + Z_C) = (1/sC)/(R + 1/sC)。分子分母に sC を掛けて整理すると H(s) = 1/(1 + sRC) になる。分圧一行がそのまま回路の伝達関数だ。インダクタを sL として入れても、より複雑な回路でも、インピーダンスで書いた分圧と合成がそのまま H(s) を作る。
一つの式、三つの顔
伝達関数 H(s) = 1/(1+sRC) は三通りに読める。第一に s = 0(DC)で H = 1、直流利得は1で、ゆっくり変わる信号はそのまま通る。第二に s = jω とすれば H(jω) = 1/(1+jωRC)、大きさが ω = 1/RC で 1/√2 に折れる低域通過の周波数応答だ。第三に分母を0にする極 s = −1/RC が過渡を定め、スイッチを入れると出力が e^(−t/RC) で落ち着く。同じ一つの式が直流利得・周波数遮断・過渡時定数を一度に収める。極の位置一つが回路のすべての挙動を圧縮したのだ。
最初の画面に戻ると
時定数 τ を動かすと極 s = −1/τ が負の実軸を移動し、τ = 0.5 で目標 s = −2 に届いた。その極一つが二つを同時に定めた。時間では出力が e^(−t/τ) で落ち着く過渡の速さ、周波数では ω = 1/τ で折れる遮断だ。jω を s に広げてコンデンサを 1/sC と見たおかげで、RC低域通過は分圧一行 H(s) = 1/(1+sτ) と書け、その一式が直流利得と周波数応答と過渡を一度に収めた。