CR · 過渡現象

RL過渡と時定数

インダクタに電圧をかけても電流は一気には流れず、曲線を描いてゆっくり立ち上がる。コンデンサ電圧がそうだったように、今度は電流のその遅さを一つの数、時定数τで測って扱う方法を学ぶ。

一時定数で63%を埋める

時間 t を0から押してみよう。インダクタ電流が最終値の63%に達する瞬間を見つければ、その時刻が時定数τだ。

時間 tt = 0.6 ms

インダクタ電流 i

i = 0.52 A

26% 最終値の (τ = 2 ms)

始まったばかり

なぜ曲線か

インダクタは電流の変化に逆らう。電源が電流を押し上げようとすると、インダクタは di/dt に比例する逆起電力で抵抗する。最初は電流が0なので電源電圧のほとんどがインダクタにかかり電流を速く押し上げるが、電流が最終値 I = V/R に近づくほど抵抗が取る電圧が増え、インダクタにかかる電圧すなわち di/dt が減って遅くなる。だから直線ではなく、次第に緩む指数曲線になる。

時定数 τ = L/R

曲線の速さを決めるのは、インダクタンスを抵抗で割った τ = L/R だ。インダクタンスが大きいと電流変化により強く逆らって遅く、抵抗が大きいと回路がより速く落ち着いて速い。RCでは抵抗が分子にあり大きいほど遅かったが、RLでは抵抗が分母にあり大きいほど速いという点が鏡のように裏返る。τは時間の単位を持ち、一時定数が過ぎると目標まで残った距離の約63%が埋まる。毎τごとに残りの同じ割合を埋めるのが指数の性質だ。

いつ「終わった」とするか

一時定数で63%、二回で86%、三回で95%まで上がる。五時定数を過ぎると99%を超え、実用上は完了とみなす。だから回路が新しい電流状態に落ち着く時間を見積もるとき5τを目安にする。これはRC過渡の鏡だ。コンデンサが電圧の変化に抵抗してτ = RCで満ちたように、インダクタは電流の変化に抵抗してτ = L/Rで立ち上がる。電流を切るときの減衰も同じτに従う。

観察i(t) = I(1 − e^−t/τ)

指数的に目標へ近づく。

選ぶτ = ?

時定数はインダクタンス割る抵抗。

空欄t = τ → i = ? I

一時定数で63%。

自分で99% ≈ ? τ

約五時定数でほぼ終わり。

最初の画面に戻ると

時間を押すと、インダクタ電流は急に出発して次第に緩み、最終値の63%に達した瞬間がちょうど一時定数τだった。その後も毎τごとに残り距離の同じ分を埋め、五時定数ほどで曲線はほぼ平らになった。τ = L/Rという一つの数が、この曲線の速さのすべてを握っていた。コンデンサがRCで語った話を、インダクタは電流で鏡のように繰り返す。

時定数 τ = L/R は、RL回路が電流の変化に応答する速さを定める、時間の単位を持つ一つの数だ。立ち上がる電流は i(t) = I(1 − e^−t/τ)、I = V/R で、一時定数後には最終値まで残った距離の約63%が埋まり、約5τ後には99%を超えて実質的に落ち着く。コンデンサが電圧変化に抵抗するように、インダクタは電流変化に抵抗する。これはτ = RCのRC過渡の鏡だ。