CR · 周波数応答
デシベルとボード直線近似
フィルタの応答を手早く描くには、曲線の代わりに直線二本で足りる。利得をデシベルに変え周波数を対数に伸ばすと曲線が直線になるボード線図の原理を学ぶ。
曲線を二本の直線で代える
周波数を掃いて、実際の曲線(金)と二本の点近線(点線)の差を見よう。遮断よりずっと上や下では二つはほぼ重なるが、一か所で最も大きく開く。その角、遮断周波数を探せ。
周波数 ω / ω_cω/ω_c = 0.16
実際と点近線の差
gap = 0.11 dB
角から遠い
デシベルは掛け算を足し算に
デシベルは利得の対数を20倍した値、dB = 20·log10|H| だ。対数なので利得の掛け算がデシベルの足し算に変わる。二段を直列に繋ぐと、全体のデシベルは各段のデシベルを足せばよい。利得1(通過)は0dB、利得1/√2(半値)は−3dB、利得1/10は−20dB、1/100は−40dBだ。
対数軸で曲線が直線になる
周波数を対数軸に置くと、1次応答の両端が直線になる。遮断よりずっと下では利得がほぼ1で0dBの水平線、ずっと上では周波数が十倍になるごとに−20dBずつ落ちる傾き一定の直線だ。この二本の直線が点近線で、二つが出会う点が遮断周波数だ。実際の曲線はその角を滑らかに回る。
角でちょうど3dBずれる
点近線は角で0dBに折れると言うが、実際の曲線はその点で−3dBまで下がっている。だから直線近似の誤差が最も大きいのが遮断周波数で、その値はちょうど3dBだ。角から1オクターブ(二倍)離れると誤差は1dBに減り、さらに離れるとほぼ0になる。だから点近線二本を描いて角だけ3dB下げれば、手描きのボード線図が実際とほぼ一致する。
観察dB = 20 · log10|H|
デシベルは利得の対数の20倍。
選ぶω ×10 → ?
十倍ごとに−20dB。
空欄0 dB × (−20/dec) = ?
二直線が出会う所が遮断。
自分でωc → gap = ?
角での最大誤差は3dB。
最初の画面に戻ると
周波数を掃くと、実際の曲線と点近線の差は遠くではほぼ0だったが、遮断周波数で最も大きく3dB開いた。曲線一本を描く代わりに直線二本を引いて角だけ3dB下げれば十分だったということだ。デシベルと対数軸が曲線を直線に伸ばしてくれたので、複雑に見えた周波数応答を手早く見積もれた。
デシベルは利得を dB = 20·log10|H| で表す対数尺度で、掛け算を足し算に変える。ボード線図はデシベル対対数周波数のグラフだ。1次応答は二本の点近線で近似される — 遮断より下は0dB、上は−20dB/decade。二つが出会う角が遮断周波数で、実際の曲線との最大誤差はその角でちょうど3dBだ。