CR · 過渡現象

RC過渡と時定数

コンデンサに電圧をかけても一気には充電されず、曲線を描きながらゆっくりと目標に近づきます。その遅さを時定数 τ という一つの数で測り、扱う方法を、このユニットで学びます。

一時定数で63%を埋める

金色の曲線は充電されて上がっていくコンデンサの電圧で、曲線上の点がいまの時刻の電圧です。時間 t を 0 から増やしていき、電圧が最終値の 63% に届く瞬間を探してください。点線の縦線と出会うその時刻が、時定数 τ です。

時間 tt = 0.6 ms

コンデンサ電圧 v

v = 2.6 V

26% 最終値の (τ = 2 ms)

63% から遠い

なぜ曲線か

コンデンサの電圧が上がるには、電流が流れ込まなければなりません。ところがその電流は抵抗を通って入ってきて、大きさはまだ残っている電圧の差に比例します。そのため差が大きいうちは速く充電され、目標に近づくほど遅くなり、グラフは直線ではなく、しだいに緩やかになる指数曲線になります。

時定数 τ = RC

曲線の速さを決めるのは、抵抗と容量の積 τ = RC です。抵抗が大きいと電流が少ししか入らず遅く、容量が大きいと満たすべき器が大きいので遅くなります。τ は時間の単位をもち、一時定数が経つと目標までの残りの距離の約 63% が埋まります。図の回路は τ = 2 ms なので、t = 2 ms で電圧は 10 V の 63% の 6.3 V になります。τ ごとに残りの距離の同じ割合を埋めていくのが、指数関数の性質です。

いつ「終わった」とするか

一時定数で 63%、二時定数で 86%、三時定数で 95% まで充電されます。五時定数が経つと 99% を超え、実用上は満充電とみなします。グラフの横軸の右端が、ちょうどその点です。そのため回路が新しい状態に落ち着くまでの時間を見積もるときは、5τ を使います。放電も同じ τ に従い、向きが逆になるだけです。

観察v(t) = V(1 − e^−t/τ)

指数関数的に目標へ近づきます。

選ぶτ = ?

時定数は抵抗と容量の積です。

空欄t = τ → v = ? V

一時定数で63%。

自分で99% ≈ ? τ

五時定数ほどでほぼ終わります。

最初の画面に戻ると

時間を増やすと、コンデンサの電圧は急に立ち上がってからしだいに緩やかになり、最終値の 63% に届いた瞬間がちょうど一時定数 τ でした。その後も τ ごとに残りの距離の同じ割合を埋め、五時定数ほどで曲線は事実上平らになりました。τ = RC という一つの数が、この曲線の速さをすべて握っていたわけです。

時定数 τ = RC は、RC 回路が変化に応答する速さを決める、時間の単位をもつ一つの数です。充電電圧は v(t) = V(1 − e^−t/τ) に従い、一時定数後には最終値までの残りの距離の約 63% が埋まり、約 5τ 後には 99% を超えて事実上落ち着きます。放電も同じ τ に従います。