CR · 過渡現象

RC過渡と時定数

コンデンサに電圧をかけると一気には充電されず、曲線を描いてゆっくり近づく。その遅さを一つの数、時定数τで測って扱う方法を学ぶ。

一時定数で63%を埋める

時間 t を0から押してみよう。コンデンサ電圧が最終値の63%に達する瞬間を見つければ、その時刻が時定数τだ。

時間 tt = 0.6 ms

コンデンサ電圧 v

v = 2.6 V

26% 最終値の (τ = 2 ms)

始まったばかり

コンデンサに電流が流れてはじめて電圧が上がる。その電流は抵抗を通って入り、大きさは残っている電圧差に比例する。差が大きいうちは速く、目標に近づくほど遅く充電される。だから直線ではなく、次第に緩む指数曲線になる。

曲線の速さを決めるのは、抵抗と容量の積 τ = RC だ。抵抗が大きいと電流が少ししか入らず遅く、容量が大きいと満たす器が大きく遅い。τは時間の単位を持ち、一時定数が過ぎると目標まで残った距離の約63%が埋まる。毎τごとに残りの同じ割合を埋めるのが指数の性質だ。

一時定数で63%、二回で86%、三回で95%まで満ちる。五時定数を過ぎると99%を超え、実用上は満充電とみなす。だから回路が新しい状態に落ち着く時間を見積もるとき5τを目安にする。放電も同じτで、ただ逆向きに抜けていく。

観察v(t) = V(1 − e^−t/τ)

指数的に目標へ近づく。

選ぶτ = ?

時定数は抵抗かける容量。

空欄t = τ → v = ? V

一時定数で63%。

自分で99% ≈ ? τ

約五時定数でほぼ終わり。

時間を押すと、コンデンサ電圧は急に出発して次第に緩み、最終値の63%に達した瞬間がちょうど一時定数τだった。その後も毎τごとに残り距離の同じ分を埋め、五時定数ほどで曲線はほぼ平らになった。τ = RCという一つの数が、この曲線の速さのすべてを握っていた。

時定数 τ = RC は、RC回路が変化に応答する速さを定める、時間の単位を持つ一つの数だ。充電電圧は v(t) = V(1 − e^−t/τ) で、一時定数後には最終値まで残った距離の約63%が埋まり、約5τ後には99%を超えて実質的に落ち着く。放電も同じτに従う。