CR · 非正弦波
高調波合成とフーリエ
回路に入る信号がいつもきれいな正弦波とは限らない。それでも正弦波だけ扱えば十分な理由がある。どんな周期波形も複数の正弦波の和に分けられるからだ。その合成の原理を学ぶ。
いくつかのサインを足して矩形波を作る
基本波に高調波を一つずつ足してみよう。最初は丸いサインだが、奇数高調波を足すほど和が次第に平らな矩形波(薄い線)に近づく。もっと多くの高調波を入れて矩形波に近づけよ。
タップで高調波の数を切り替え。
含めた高調波
n = 1 (≤ 1)
まだ丸い
整数倍の周波数だけが許される
周期がTの波形を正弦波の和で作るには、使えるサインは同じ周期Tにちょうど収まるものだけだ。すなわち基本周波数の整数倍 — 2倍、3倍、4倍… の周波数だけが許される。基本周波数の波を基本波、その整数倍を高調波と呼ぶ。各高調波の振幅を適切に選べば、その和が望む形を描く。
矩形波は奇数高調波だけを使う
矩形波のように上下対称な波形は偶数高調波がすべて0で、奇数高調波だけが残る。さらにn番目の高調波の振幅は1/nで減る。だから矩形波はsin(ωt) + (1/3)sin(3ωt) + (1/5)sin(5ωt) + …の形だ。高い高調波ほど小さく足されるが、角を鋭く立てるのに不可欠だ。
正弦波解析がすべての信号を覆う理由
ここでインピーダンスと周波数応答が出会う。回路が各周波数の正弦波にどう応答するか(利得と位相)が分かれば、任意の入力を高調波に分けてそれぞれ通し、再び足せば出力が出る。フィルタが高域を削れば、矩形波の高い高調波が減って角が丸くなるという具合だ。だから正弦波一つをきちんと扱えれば、事実上すべての周期信号を扱うことになる。
観察f = Σ an sin(nωt)
周期波形は正弦波の和。
選ぶsquare: n = ?
矩形波は奇数高調波だけ。
空欄an ∝ ?
n番目の振幅は1/nで減る。
自分でfn = n · ?
高調波周波数は基本の整数倍。
最初の画面に戻ると
基本波一つのときは丸いサインだったが、奇数高調波を一つずつ足すほど和は平らな頂と急な角を備えて矩形波に近づいた。各高調波は1/nで小さくなりながらも形を整える役目を果たした。どんな複雑な波形も結局は正弦波の和だという事実が、正弦波一つで回路を解くすべての道具を任意の信号へ広げてくれる。
フーリエ級数は、どんな周期波形も基本波と整数倍の高調波(サイン・コサイン)の和で表せるという定理だ。矩形波は奇数高調波だけの和で、n番目の振幅が1/nで減る: f = (4/π)(sin ωt + ⅓ sin 3ωt + ⅕ sin 5ωt + …)。項を足すほど和が矩形波に収束する。これで正弦波解析がすべての周期信号へ広がる。