CR · 周波数応答
遮断周波数と一次ローパス
同じRC回路でも、信号の周波数によって通す度合いが違う。どこまで通しどこから遮るのか、その境界である遮断周波数を読む方法を学ぶ。
低い周波数は通り、高い周波数は遮られる
周波数を低い方から高い方へ掃いてみよう。最初はほぼそのまま出てくるが、次第に小さくなる。出力が入力の1/√2、すなわち−3dBに落ちる遮断周波数ω_cを探そう。
周波数 ω / ω_cω/ω_c = 0.20
通過ゲイン
|H| = 0.981 · -0.2 dB
遮断から遠い
コンデンサが周波数依存の分圧器を作る
抵抗とコンデンサを直列につなぎ、コンデンサの両端から出力を取ると、二つが電圧を分ける分圧器になる。しかしコンデンサのインピーダンス1/ωCは周波数に反比例する。低い周波数ではコンデンサがほぼ全電圧を取り出力は入力に近く、高い周波数ではコンデンサの取り分が小さくなり出力は縮む。
遮断周波数 ω_c = 1/RC
抵抗とコンデンサのインピーダンスが等しくなる周波数が境界だ。そこがω_c = 1/RCで、等しい二つのインピーダンスが直角なので出力は入力の1/√2 ≈ 0.707倍に落ちる。電力でいえば半分なので、これを−3dB点と呼ぶ。位相では出力が入力よりちょうど45度遅れる。
遮断より上は一定の傾きで減る
遮断周波数より上では、周波数が十倍になるごとに利得が1/10、すなわち−20dBずつ減る。この一定の傾きが一次フィルタの目印だ。対数軸に描くと、通過帯域の平らな直線と−20dB/decadeで落ちる直線が交わって折れ、その折れ角がまさに遮断周波数だ。
観察|H| = 1/√(1+(ω/ωc)²)
周波数が上がるほど利得が減る。
選ぶωc = ?
二つのインピーダンスが等しくなる所。
空欄ω = ωc → |H| = ?
直角で等しい大きさ → 1/√2。
自分でω = ωc → φ = ?
遮断で出力が45度遅れる。
最初の画面に戻ると
周波数を上げると、通過利得は平らに始まり遮断周波数付近で折れて落ち、ちょうどω_c = 1/RCで出力は入力の0.707倍、−3dBになった。その上は十倍ごとに−20dBで一定に減った。同じ回路でもどの周波数を送るかで通ったり遮られたりすることを、遮断周波数一つが要約する。
一次ローパスはRC分圧器で、利得は |H| = 1/√(1+(ω/ωc)²)。遮断周波数 ωc = 1/RCで出力は入力の1/√2(−3dB)に落ち、位相は−45度になる。その上は−20dB/decadeの一定の傾きで減る。低い周波数は通し、高い周波数は遮る。