CR · 過渡現象

RLC二次応答と減衰

インダクタとコンデンサが一緒にあると、回路はエネルギーをやり取りして揺れることがある。その揺れをどれだけ抑えるかを、減衰比ζ一つで扱う方法を学ぶ。

減衰比一つが応答の形を決める

減衰比ζを動かして、ステップ応答がどう変わるか見よう。振動して飛び出すが、オーバーシュートなしで最も速く落ち着く一点がある。その臨界点ζ = 1を探そう。

減衰比 ζζ = 0.30

応答の領域

アンダーダンプ · 振動

臨界から遠い

二つの素子がエネルギーをやり取りする

インダクタは電流に、コンデンサは電圧にエネルギーを蓄える。二つが一つの回路にあると、一方が空くと他方が満ち、エネルギーが往復する。抵抗がなければ永遠に揺れるが、抵抗が各揺れから少しずつエネルギーを抜いて鎮める。一次のRCが単調に近づいたのに対し、二次のRLCは飛び出して戻ることができる。

減衰比が三つに分ける

抵抗が弱いと(ζ<1)エネルギーが何度も往復し、応答は振動して目標を飛び越える。抵抗が強いと(ζ>1)揺れ自体が生じず、のろのろと這ってくる。その間のちょうど一点、ζ=1で応答はオーバーシュートなしに最も速く落ち着く。これが臨界減衰だ。

ζは抵抗・インダクタ・コンデンサで決まる

直列RLCでは減衰比は ζ = (R/2)√(C/L) だ。抵抗を大きくするとζが大きくなり振動が抑えられ、インダクタを大きくするとζが小さくなりより揺れやすい。揺れそのものの速さは固有振動数 ω_n = 1/√(LC) が決め、実際の振動周波数は ω_d = ω_n√(1−ζ²) で、減衰が強いほど遅くなる。

観察ζ = (R2)√(CL)

抵抗が大きいほど減衰比は大きい。

選ぶω_n = ?

固有振動数はLCが決める。

空欄ω_d = ω_n ?

減衰が強いほど振動が遅い。

自分でζ = ?

オーバーシュートなしで最速＝臨界。

最初の画面に戻ると

ζが小さいとき応答は目標を飛び越えて何度も揺れ、ζを大きくすると揺れが次第に減り、ζ=1でオーバーシュートなしに最も速く落ち着いた。さらに大きくすると(過減衰)振動はないが遅くなった。抵抗・インダクタ・コンデンサの値が何であれ、その組み合わせが作る減衰比ζ一つが応答の形のすべてを握っていた。

減衰比 ζ = (R/2)√(C/L) は、直列RLCのステップ応答の形を定める一つの数だ。ζ<1はアンダーダンプで振動・オーバーシュート、ζ=1は臨界減衰でオーバーシュートなしに最速で落ち着き、ζ>1は過減衰で振動なく緩慢。固有振動数 ω_n = 1/√(LC)、減衰振動数 ω_d = ω_n√(1−ζ²)。