La caja de herramientas de todo ingeniero

Un vector es un movimiento y una lista de números, hecho de direcciones básicas

Sepáralo, resuelve las partes, súmalas: misma respuesta, la base de todo

Una matriz no es una tabla; mueve todo el espacio a la vez

El determinante es cuánto escala el área una transformación

Un sistema busca qué entrada convirtió la transformación en b

Las direcciones que la transformación solo estira, sin girar (λ = el estiramiento)

El mismo vector recibe coordenadas distintas según la base que lo lee; la base correcta simplifica una transformación

Una proyección es el punto más cercano en una recta o plano y lo que sobra es siempre perpendicular; apílalo sobre datos y obtienes mínimos cuadrados

Toda matriz son tres pasos, rotar, estirar por ejes y rotar, y el círculo unitario se vuelve una elipse cuyos radios son los valores singulares

Halla las direcciones donde los datos se dispersan más; las componentes principales son los vectores propios de la matriz de covarianza, y conservarlas reduce la dimensión

El producto punto reúne longitud y alineación a la vez; quita las longitudes y obtienes la similitud coseno, el núcleo de la búsqueda y la recomendación

El producto interno es la estructura general que define longitud, ángulo y ortogonalidad; cambia los pesos y la geometría se curva, y hasta las funciones son vectores

Construye una base ortonormal a partir de una torcida restando proyecciones; esto es justo la Q de QR

A = QR divide una matriz en una Q ortonormal y una R triangular superior, resolviendo mínimos cuadrados de forma estable

Más allá del área 2x2 hacia el volumen n-dimensional con signo; calcúlalo por cofactores y resuelve sistemas con la regla de Cramer

Escalares, vectores y matrices son los primeros peldaños de la escalera tensorial; el producto externo hace rango-1 y una matriz es su suma

A = PDP⁻¹ vuelve una transformación puro estiramiento en la base propia; una matriz simétrica se diagonaliza con vectores propios perpendiculares

Se divide en espacios columna, nulo y fila con rango + nulidad = n, decidiendo si un sistema tiene cero, una o infinitas soluciones

xᵀAx es un cuenco cuyos ejes son vectores propios y cuya curvatura son los valores propios; sus signos deciden mínimo, máximo o silla

Un número complejo es un punto en el plano; multiplicar suma ángulos y multiplica longitudes

e^{iθ} = cos θ + i sin θ, el lenguaje de la CA vía fasores y espirales amortiguadas

Una función dobla la cuadrícula pero preserva los ángulos (conforme); lleva un problema difícil a una forma fácil

Cada punto fija una pendiente y la solución fluye por el campo; la condición inicial elige la curva

Un resorte y un RLC son la misma ecuación; dónde están las raíces decide amortiguamiento y oscilación

Cuando la frecuencia de excitación coincide con la natural la amplitud explota; el amortiguamiento fija el pico (Q)

Una EDO acoplada es un flujo en el plano de fase; los valores propios del jacobiano deciden el tipo y la estabilidad

Un campo escalar es un número por punto, uno vectorial una flecha por punto; un campo es función y flujo

La dirección en que el valor sube más rápido; perpendicular a las curvas; −∇f es descenso; ∇f=0 es el óptimo

El flujo neto que sale de un punto; una fuente es positiva, un sumidero negativo; el flujo de un lazo diminuto es la divergencia

La fuerza y el sentido del giro local; antihorario es positivo, horario negativo; la circulación de un lazo diminuto es el rotacional

El trabajo que un vector acumula a lo largo de un camino; depende del camino en general, pero no en un campo conservativo

La divergencia sumada dentro iguala el flujo en la frontera, el rotacional dentro iguala la circulación; Gauss y Stokes atan interior y frontera

Cuánto sobresale o se hunde un punto respecto a sus vecinos; la divergencia del gradiente, tras la difusión y las funciones armónicas

Un campo sin rotacional es el gradiente de un potencial, es independiente del camino y su integral en lazo cerrado es cero

El rotacional de un gradiente y la divergencia de un rotacional son siempre cero; todo campo se separa en una parte fuente y una parte giro

Flujo a través de una superficie; el teorema de la divergencia suma la divergencia en un volumen, y Stokes liga la circulación de frontera al rotacional sobre una superficie

El espacio muestral es un tablero de área 1; un evento es una región y la probabilidad es su área

Lo discreto es una PMF de barras; lo continuo tiene el área bajo la curva como probabilidad; los histogramas convergen a una densidad; la CDF acumula

E[X] es el punto de equilibrio de los pesos de probabilidad; la varianza es la distancia² media; la SD es el ancho en las mismas unidades; transforma aX+b

La regla 68-95-99.7; sumas y medias muestrales convergen a la normal (TCL); estandarización z; intervalos de confianza

Apila un polinomio alrededor de un punto para imitar la curva; el error crece al alejarte

Una serie de potencias converge dentro de su radio y diverge fuera; el criterio del cociente y la frontera

Salta a donde apunta la tangente para llegar rápido a una raíz, con fallos y cuencas de atracción

Pasa x por g(x) una y otra vez y converge a un punto fijo si la pendiente es menor que 1

Avanza recto por la pendiente de una ecuación diferencial; un paso grande hace explotar el error

Rectángulos, trapecios y Simpson miden el área bajo una curva; más franjas, más precisión

El error decrece según el orden del método en el paso; precisión frente a estabilidad y costo

Rellena los huecos con una función por los puntos; bases de Lagrange, fenómeno de Runge, nodos de Chebyshev y splines

Los límites del punto flotante; épsilon de máquina, acumulación de redondeo, cancelación catastrófica y condicionamiento