Proceso de Gram-Schmidt
Supón que dos vectores se apoyan en oblicuo. Abren el mismo plano, pero no son perpendiculares y sus longitudes difieren, así que el cálculo es incómodo. Gram-Schmidt es el procedimiento que endereza esta base torcida. Deja la primera dirección como está y, del segundo vector, resta la sombra que proyecta sobre el primero, la proyección. Queda solo la parte perpendicular al primero. Por último iguala ambas longitudes a 1 y sale un marco unidad que se encuentra en ángulo recto. La figura de los pasos recorre cómo el par inclinado se vuelve ortonormal. El marco que enderezas es la Q de una factorización QR. El dorado es la proyección y el naranja es lo que queda tras la resta. El verde es el vector unidad cuya longitud se ajustó primero. El orden de los botones es el orden del procedimiento, y el tablero de números muestra luego esas mismas dos flechas como las columnas de Q.
Avanza los pasos con los botones. El paso 0 es la entrada oblicua a1, a2 tal cual. El paso 1 acorta a1 a longitud 1 y hace el primer vector unidad verde u1. El paso 2 dibuja en dorado la sombra que a2 proyecta sobre u1, la proyección (a2·u1)u1. Muestra cuánto de la dirección de u1 hay dentro de a2. El paso 3 resta esa proyección de a2, pinta en naranja la parte perpendicular que queda, w, y ajusta su longitud a 1 para obtener el segundo vector unidad u2. Ahora u1 y u2 se encuentran en ángulo recto. El par torcido se ha enderezado en un par ortonormal.
Toma solo el movimiento central de Gram-Schmidt. Fija u1 como el vector unidad sobre el eje x y arrastra libremente el vector azul a2. La flecha dorada es la proyección (a2·u1)u1 que a2 proyecta sobre u1. Es solo la parte de u1 que hay dentro de a2. La flecha naranja es lo que queda, a2 menos la proyección. Adonde arrastres a2, ese resto naranja se mantiene exactamente perpendicular a u1. Restar la proyección quita la parte paralela y deja solo la perpendicular. Esa sola resta es lo que pone de pie al segundo vector torcido.
Por muy torcida que esté la entrada, la salida se mantiene recta. Fija a1 y gira el ángulo de a2 con el deslizador. Los dos vectores tenues son la entrada oblicua a1, a2, y el marco unidad en ángulo recto, dibujado con fuerza, u1, u2, es la salida que endereza Gram-Schmidt. Por mucho que inclines la entrada, la salida u1 y u2 se mantiene en longitud 1 y perpendicular entre sí. Hay un lugar peligroso. Haz a2 casi paralelo a a1 y el plano que había que abrir desaparece, y la parte perpendicular se acerca a 0. En ese instante no se puede construir un marco ortonormal y aparece un aviso. Una base casi paralela no se puede enderezar. El aviso aparece donde las dos flechas se superponen, porque no queda una segunda dirección que poner de pie. Cuanto más giras la flecha azul, más cambia la longitud de la proyección dorada. El orden de los botones es el orden del procedimiento.
Gram-Schmidt da un resultado distinto según el vector por el que empieces. La dirección del primer vector se conserva. Un botón cambia el orden de salida. Empieza por a1 y u1 sigue la dirección de a1 mientras u2 se planta perpendicular a ella. Empieza por a2 y ahora u1 sigue a a2 mientras u2 es la perpendicular. Las mismas dos entradas abren el mismo plano, y los marcos ortonormales que salen están girados de distinta manera. Los dos son bases ortonormales correctas. El procedimiento ancla en la primera dirección, así que a quién llames primero decide la respuesta.
Reúne los dos vectores unidad en una matriz. Enciende u1 y u2 de uno en uno y cada uno ocupa su sitio como columna 1 y columna 2 de la matriz Q. El tablero de números de abajo muestra esa Q de 2×2, la columna verde u1 y la naranja u2. Las dos columnas de Q son vectores unidad perpendiculares, así que Q es un giro que no toca ni la longitud ni el ángulo, una matriz ortogonal. Por eso Qᵀ Q = I. La Q reunida así es la Q de una factorización QR. Cualquier matriz A se parte como A = QR, donde Q son estas columnas ortonormales enderezadas por Gram-Schmidt y R es la matriz triangular superior de los coeficientes de proyección que se restaron por el camino.