Una matriz divide el espacio en cuatro subespacios
Mete un vector en una matriz A y sale un vector distinto. Pero no todos los entran reciben el mismo trato: algunas direcciones salen vivas, otras quedan aplastadas por completo a cero. Así que una sola matriz divide el espacio en cuatro piezas. En el lado de salida está el espacio columna (la imagen), todos los resultados que puedes alcanzar; en el lado de entrada está el espacio nulo, las direcciones que mueren a cero. Suma el número de direcciones que sobreviven (el rango) al de las que mueren (la nulidad) y siempre obtienes la dimensión de entrada. Con esta única imagen, por qué A x = b puede no tener solución, tener exactamente una o tener infinitas, sale todo de golpe. Es la estructura que la inversa por sí sola jamás podía mostrar.
Arrastra el vector de entrada x. Esta matriz A es plana: sus dos columnas apuntan en la misma dirección (det = 0), así que donde sea que arrastres, la salida A x cae solo sobre una única recta. Esa recta es el espacio columna. ¿Por qué? Porque A x es cierta cantidad de la primera columna más cierta cantidad de la segunda, una combinación de las dos columnas, y como las columnas son paralelas, todo lo que esa combinación puede formar es esa única recta paralela. La salida nunca puede dejar esa recta. Todo resultado alcanzable queda atrapado en esta recta unidimensional. Esta es la imagen, el espacio columna.
En la misma matriz plana, mira ahora el lado de entrada. Hay entradas que mueren a cero. Arrastra x y verás que, al ponerla sobre cierta recta, la salida A x se pega exactamente al origen. Esa recta es el espacio nulo. Las entradas que llegan por esa dirección quedan aplastadas por completo a cero, sin dejar rastro. Aléjate apenas un poco de esa recta y la salida salta de inmediato sobre el espacio columna. No un solo punto, sino toda una recta va a cero. Por eso A x = 0 no tiene solo x = 0 sino infinitas soluciones. Este hecho mismo, que el espacio nulo no sea cero, se vuelve la clave de por qué las soluciones pueden venir en multitudes.
Ahora usa el control para colapsar la matriz de viva a plana. Con el control en un extremo, A es de rango completo 2: el cuadrado unitario se vuelve un paralelogramo sano, y la única entrada que va a cero es x = 0, así que la nulidad es 0. Gira el control para que una columna se incline hacia la otra y las dos columnas se vuelven paralelas (det va a 0); el paralelogramo colapsa en un único segmento. En ese instante el rango es 1 y la nulidad es 1, porque ahora toda una recta va a cero. Como sea, rango más nulidad es siempre 2: la dimensión de entrada se reparte exactamente entre los dos hijos. Las dimensiones que sobreviven (rango) y las que mueren (nulidad) siempre suman la dimensión entrante n. Este es el teorema del rango y la nulidad.
Mira de nuevo el plano de entrada. El espacio nulo no está solo ahí: el espacio fila también vive en el lado de entrada. El espacio fila son las direcciones que generan las dos filas de la matriz, y en una matriz plana también es una sola recta. Activa las dos rectas con el conmutador y verás que el espacio fila y el espacio nulo se encuentran a exactamente 90 grados. Los dos son una pareja perpendicular que se complementa. ¿Por qué? Porque cada componente de A x es el producto punto de una fila con x, y si x está en el espacio nulo ese producto punto es 0, lo que significa que x es perpendicular a toda fila. Así que todo vector de entrada se parte en dos piezas: la parte del espacio fila sobrevive en la salida, la parte del espacio nulo se desvanece a cero. La mitad que vive y la mitad que muere quedan separadas en ángulo recto.
Ahora resuelve A x = b con la imagen de los cuatro subespacios. Usa el control para mover el objetivo b. Si b no está sobre la recta del espacio columna, no hay ninguna entrada que lo alcance: cero soluciones. Sube b sobre el espacio columna y las soluciones aparecen de pronto, y no una sola: una solución particular más todo el espacio nulo, es decir, una recta entera trasladada a lo largo de la dirección del espacio nulo, son todas soluciones. Infinitas. La solución particular es una entrada que alcanza b, y sumarle cualquiera de las direcciones que mueren a cero deja la salida todavía en b. Si la matriz hubiera sido de rango completo con solo 0 en su espacio nulo, la solución sería exactamente una, la respuesta que daba la inversa. Cero, una o infinitas: las tres ramas salen directo de la forma de los cuatro subespacios.