Los cuatro subespacios fundamentales

Arrastra el vector de entrada. Esta matriz es plana, sus dos columnas apuntan al mismo sitio, así que det=0, y la columna verde y la columna naranja yacen una sobre la otra. Donde arrastres, la salida A x cae solo sobre una recta dorada. La entrada azul se pliega sobre esa recta. Esa recta es el espacio columna. A x es un múltiplo de la primera columna más un múltiplo de la segunda, una combinación de las dos columnas, y como las columnas son paralelas lo único que esa combinación puede hacer es la recta de esa dirección paralela. La salida nunca puede salir de la recta. Todo resultado alcanzable queda atrapado en esta recta de 1 dimensión. Ese es el image, el espacio columna.

En la misma matriz plana, mira el lado de la entrada. Hay entradas que mueren a 0. Arrastra la entrada azul y cuando la pones sobre la recta azul la salida A x se pega exactamente al origen. Esa recta es el espacio nulo, y el espacio columna se queda como una recta discontinua dorada. Una entrada que llega por esa dirección se aplasta entera a 0 y no deja rastro. Apártate un poco de esa recta y la salida salta de golpe sobre el espacio columna. No es un punto. Toda la recta va a 0. Así las soluciones de A x = 0 no son la sola x = 0. Hay infinitas. El hecho de que este espacio nulo no es 0 es la llave de por qué puede haber muchas soluciones.

Ahora derrumba la matriz con el deslizador, de viva a plana. En un extremo la matriz tiene rango completo 2. El cuadrado unidad se vuelve un paralelogramo dorado, y la columna verde y la columna naranja apuntan a sitios distintos. La única entrada que va a 0 es x = 0, así que la nulidad es 0. Inclina una columna hacia la otra con el deslizador y las dos columnas se vuelven paralelas, det va a 0, y el paralelogramo se aplasta en un segmento. En ese instante el rango es 1 y la nulidad es 1. Una recta entera va a 0. De cualquier modo, rango más nulidad es siempre 2. La dimensión de entrada se parte exactamente en dos partes. El rango, la dimensión que sobrevivió, es un número verde, la nulidad, la dimensión que murió, es un número azul, y su suma es dorada y siempre iguala la dimensión que entró. Ese es el teorema de rango-nulidad.

Mira de nuevo el plano de entrada. No está solo el espacio nulo. El espacio fila está también en el lado de la entrada. El espacio fila es la dirección que abren las dos filas de la matriz, y en una matriz plana eso es también una recta. Enciende las dos rectas y el espacio fila dorado y el espacio nulo azul se encuentran a exactamente 90 grados. Son una pareja que se completa en ángulo recto. Pulsa el botón de la partición y una entrada se parte en dos trozos. Cada componente de A x es el producto escalar de una fila con la entrada, y si la entrada yace en el espacio nulo ese producto es 0, lo que significa que la entrada es perpendicular a toda fila. Así todo vector de entrada se parte en dos. La parte del espacio fila sobrevive en la salida y la parte del espacio nulo desaparece a 0. La mitad que salva y la mitad que mata se parten en ángulo recto.

Ahora resuelve A x = b con el dibujo de los cuatro subespacios. Mueve el objetivo con el deslizador y aparece la respuesta. Si el objetivo no está sobre la recta dorada del espacio columna, ninguna entrada alcanza ese objetivo, así que hay 0 soluciones. Sube el objetivo al espacio columna y aparecen soluciones de golpe, y no hay una. Una solución particular más todo el espacio nulo, la recta entera trasladada a lo largo de la dirección del espacio nulo dibujada como una recta discontinua azul, es la solución, así que hay infinitas. La solución particular es una entrada que alcanza el objetivo, y por mucho de una dirección que muere a 0 que añadas, la salida se queda igual. Si el espacio nulo fuera solo 0, una matriz de rango completo, habría exactamente una solución, la respuesta que daba una inversa. 0, y 1, e infinitas: las tres ramas salen directas de la forma de los cuatro subespacios.