Método de Newton
El trabajo es hallar una raíz de la ecuación f(x)=0. La mayoría de las veces no hay una fórmula limpia. El método de Newton traza la tangente a la curva en el punto actual y toma como siguiente estimación el lugar donde esa recta corta el eje x. La curva es difícil, pero una recta encuentra el 0 con facilidad. La fórmula es xn+1=xn - f(xn)/f'(xn). Repítela y la estimación se desliza hacia la raíz. Cuando funciona, el número de cifras correctas se duplica aproximadamente en cada paso, y por eso se llama convergencia de orden 2. No lo resuelve todo. Donde la pendiente es plana, la tangente lanza la estimación lejos, y una curva difícil puede dar vueltas entre dos puntos o divergir. Un pequeño cambio en el inicio puede caer en otra raíz. Puesto al lado de la bisección, que es segura, se ve cuánto se adelanta la velocidad de Newton.
La curva gris es f(x)=x²-2, y su raíz es √2≈1.414. Fija el inicio x0 con el deslizador y pulsa el botón de un paso. Se traza una tangente dorada en el punto actual, y el círculo pequeño donde esa tangente corta el eje x es la siguiente estimación. Cada pulsación desliza el punto hacia la raíz, y la f(x) de abajo se acerca a 0. Lo esencial es seguir el 0 fácil de una recta en lugar de la curva. Reiniciar vuelve al inicio.
El error de la misma ecuación se ve en barras de escala logarítmica. Una barra es |xn - √2| después de un paso más. En escala logarítmica, más corta significa más exacta, y una barra que llega al suelo es casi perfecta. Mueve el deslizador de x0 y, empieces donde empieces, las barras caen como un acantilado en pocos pasos. El error se eleva aproximadamente al cuadrado en cada paso. Un error de 0.1 no se vuelve 0.01. Se encoge hacia el cuadrado de 0.01. Que la lectura de cifras correctas salte cerca del doble en cada paso es la convergencia de orden 2.
Rápido no significa seguro. Puedes elegir tres fallos. El lanzamiento es cuando x0 está cerca de 0, así que f'(x)≈0, la tangente es casi horizontal y la estimación sale de la figura. El ciclo es f=x³-2x+2 empezando en 0, que camina entre 0 y 1 para siempre y no alcanza una raíz. La divergencia es una curva que se aplana lejos, como arctan, donde los pasos crecen y se alejan. Las flechas de la tangente muestran adónde se tuerce el paso. El método de Newton necesita un buen inicio y una red de seguridad.
Ahora f=x³-x. Hay tres raíces, -1, 0 y +1. Mueve el inicio x0 con el deslizador y el color dice a qué raíz cae Newton. El verde es -1, el dorado es 0, el azul es +1 y el gris es divergencia. Toda la banda es un mapa del destino de cada punto de partida. Cerca del centro va limpiamente a 0, pero alrededor de ±1/√5 los colores se enredan como cabellos. Ahí, mover el inicio un poco cambia la raíz a la que caes. La misma regla dibuja una frontera así de fina.
Por último, compara las velocidades. Resuelve f=x²-2 en [1,2], y un botón de un paso avanza a la vez Newton (dorado, x0=2) y la bisección (azul, el intervalo [1,2]). La bisección se queda con la mitad donde cambia el signo y corta el intervalo por la mitad cada vez. Es segura, pero añade solo unas 0.3 cifras correctas por paso. El error de Newton se desploma en el mismo número de pasos. Compara los dos errores de la lectura y Newton deja muy atrás a la bisección en pocos pasos. La seguridad es de la bisección y la velocidad de Newton, así que en la práctica se mezclan.