Newton persigue la raíz por la tangente
¿Cómo se halla una raíz de una ecuación f(x)=0? La mayoría de las veces no hay fórmula limpia. La respuesta de Newton es elegante. En tu punto actual, traza la tangente a la curva y toma como siguiente estimación el lugar donde esa recta cruza el eje x. La curva puede ser difícil, pero una recta encuentra su propio cero con facilidad. En símbolos, xn+1=xn - f(xn)/f'(xn). Repítelo y la estimación se desliza hacia la raíz. Cuando funciona es aterradoramente rápido: cada paso casi duplica el número de dígitos correctos, lo que llamamos convergencia cuadrática. Pero no es infalible. Donde la pendiente es plana, la tangente lanza la estimación muy lejos, y en una curva difícil puede dar vueltas entre dos puntos o diverger para siempre. Un inicio algo distinto puede incluso llevarte a otra raíz. Aun así, ponlo al lado de la segura y lenta bisección y verás de un vistazo cuán abrumadora es la velocidad de Newton.
La curva gris es f(x)=x²-2, cuya raíz es √2≈1.414. Fija el inicio x0 con el control y luego pulsa paso. Se traza una tangente dorada en el punto actual, y donde corta el eje x (el círculo pequeño) pasa a ser la siguiente estimación. Cada pulsación desliza el punto hacia la raíz, y f(x) abajo baja hacia 0. El truco es perseguir el cero de una recta fácil en vez del de la curva. Usa reiniciar para verlo de nuevo desde arriba.
Mira el error de la misma ecuación como barras logarítmicas. Cada barra es |xn - √2| tras un paso. En escala logarítmica más corta significa más precisa, y una barra que toca el fondo es casi perfecta. Mueve el control de x0. Empieces donde empieces, las barras caen por un precipicio en pocos pasos, porque cada paso casi eleva al cuadrado el error. Un error de 0.1 no pasa a 0.01 sino que mengua al orden de su propio cuadrado. La duplicación de dígitos correctos por paso que muestra el lector es la convergencia cuadrática.
Rápido no siempre es seguro. Elige los tres fallos. El rebote ocurre cuando x0 está cerca de 0 y f'(x)≈0: la tangente es casi horizontal y lanza la estimación fuera de la pantalla. Ciclo: al empezar f=x³-2x+2 en 0, rebota entre 0 y 1 para siempre y nunca llega a una raíz. Diverge: en una curva que se aplana a lo lejos, como arctan, los pasos crecen y se alejan. Observa cómo fallan las flechas de la tangente. Por eso Newton necesita un buen punto de partida y una red de seguridad.
Ahora f=x³-x, con tres raíces en -1, 0 y +1. Desliza x0 y el color te dice a qué raíz cae Newton: verde es -1, dorado es 0, azul es +1, gris es divergencia. Toda la franja es un mapa que colorea el destino de cada punto de partida. Cerca del centro va limpio hacia 0, pero alrededor de ±1/√5 los colores se enredan finamente como cabello. Ahí, mover el inicio un pelo cambia a qué raíz llegas. Es asombroso que la misma regla simple talle fronteras tan delicadas.
Por último, compara la velocidad. Resuelve f=x²-2 en [1,2], donde un solo botón de paso avanza a la vez Newton (dorado, x0=2) y la bisección (azul, en [1,2]). La bisección elige la mitad donde cambia el signo y reduce el intervalo a la mitad cada vez. Es segura pero solo gana unos 0.3 dígitos por paso, despacio. Newton, en el mismo número de pasos, ve su error desplomarse. Compara los dos errores en el lector. En tres o cuatro pasos Newton deja a la bisección muy atrás. Bisección por seguridad, Newton por velocidad: en la práctica se combinan ambos.