La media es el punto de equilibrio, la varianza es la dispersión
La lección pasada dijimos que una distribución es la forma entera de cómo se reparte la probabilidad. Pero cargar con toda una distribución es pesado. En la práctica resumimos una distribución con solo dos números: más o menos dónde está reunida, y cuán ampliamente está repartida. Estos dos son el valor esperado y la varianza. El valor esperado E[X] es el centro de la distribución — más precisamente, su centro de masa. Mira la distribución como los pesos de unas barras, y el valor esperado es exactamente el fulcro donde esas barras se equilibran. Fija "en promedio, los valores salen cerca de aquí" en un único punto. La varianza es cuán lejos, en promedio, se dispersan los valores de ese centro — el tamaño de la dispersión. Pues incluso con el mismo centro, si las cosas se apiñan juntas o se reparten anchas es una situación completamente distinta. En esta lección manejarás el valor esperado como un punto de equilibrio y la varianza como la media de distancias al cuadrado, aprendiendo con las manos qué significan los dos números que resumen una distribución.
Primero, siente el valor esperado como una balanza. Sobre una viga he colocado unos pesos de masas distintas — los grandes son pesados, los pequeños livianos. El fulcro donde esta viga se equilibra exactamente, ese punto es el centro de masa. Arrastra los pesos. El fulcro lo sigue al instante para reequilibrarse. Puedes verlo inclinarse hacia los pesos pesados. Manda un peso liviano lejos y el fulcro apenas se mueve, pero desplaza un peso pesado un poco y lo sigue mucho. Esto es exactamente el valor esperado. En probabilidad, la "masa" de un peso es la probabilidad de ese valor, y la "posición" de un peso es el valor mismo. Cuanto más probable un valor, más fuerte tira de la media hacia sí. Así que el valor esperado es "el centro medido con la probabilidad como peso," el único punto donde la distribución se equilibra.
¿Cómo calculas ese punto de equilibrio? Un promedio ponderado. No el promedio simple donde solo sumas los valores y divides por la cantidad. Multiplicas cada valor por la probabilidad de ese valor y los sumas. Como fórmula, E[X] = Σ x·p(x). Toma un dado: un dado justo tiene cada uno del 1 al 6 con probabilidad igual 16, así que el promedio es 3.5. Pero con un "dado cargado," sesgado hacia un lado, la cosa cambia. Arrastra las alturas de las barras para subir la probabilidad de una cara concreta. Una vez que esa cara sale a menudo, la media E[X] es arrastrada hacia ella, porque un valor más probable contribuye más a la suma. Cada valor recibe una "voz" igual a su probabilidad y entra en un tira y afloja por la posición de la media. Convierte el centro de masa del bloque 1 en números y es exactamente esta suma ponderada: masa = probabilidad, posición = valor, punto de equilibrio = Σ x·p(x).
Una vez que conoces el centro, mides la dispersión. Esa es la varianza. La pregunta clave es "¿cuán lejos, en promedio, se sitúan los valores de la media?" No puedes solo promediar las distancias. Los valores por encima de la media son positivos y los de debajo negativos, así que se cancelan a cero. Por eso elevas la distancia al cuadrado. Elevar al cuadrado mata el signo y hace todo positivo. Separa los puntos. Para cada punto se dibuja un cuadrado cuyo lado es la distancia de ese punto a la media. El área de ese cuadrado es exactamente la distancia al cuadrado. La varianza es el promedio de todas estas áreas de cuadrados. Cuando los puntos se apiñan cerca de la media los cuadrados son pequeños y la varianza es pequeña; sepáralos anchos y los cuadrados crecen y la varianza se dispara. Como elevaste la distancia al cuadrado, un punto más lejano es castigado mucho más fuerte. Así que la varianza es una medida estricta de la dispersión, sensible a los valores extremos.
La varianza tiene un inconveniente. Como elevaste la distancia al cuadrado, las unidades también se elevan al cuadrado. Si mediste la estatura en cm, las unidades de la varianza son cm² — un área. "La dispersión de las estaturas es 25 centímetros cuadrados" simplemente no cala. Así que deshaces el cuadrado con una raíz cuadrada. Esa es la desviación típica. Desviación típica = √varianza, y las unidades vuelven a cm, las mismas unidades que X. "La dispersión de las estaturas es 5 cm" se entiende de inmediato. En la curva normal, arrastra σ. La desviación típica σ es el "ancho" natural de la campana — la distancia desde el pico central hasta donde los hombros se curvan. Cuando σ es pequeña la curva se vuelve estrecha y aguda; cuando grande, ancha y plana. En resumen: la varianza σ² es una cantidad en unidades al cuadrado cómoda para calcular, mientras que la desviación típica σ es el ancho que usamos en la vida diaria, que nos deja sentir cuán repartidas están las cosas en las unidades originales.
Por último, mira cómo cambian estos dos números cuando actúas sobre los valores. Convertir X en aX+b es muy común, como en un cambio de unidades o una calibración — Celsius a Fahrenheit, metros a pies. Mueve a y b con los deslizadores. Primero, b suma el mismo valor a todos, así que desliza toda la distribución de lado con su forma intacta. La media por tanto se mueve b, pero la dispersión no cambia en absoluto, porque todo se movió junto y las distancias entre ellos siguen iguales. La a, en cambio, estira o encoge. La media se vuelve a veces más grande, y el ancho de la curva se estira por a también. Así que la desviación típica escala por |a|, y la varianza, al ser una cantidad de distancia al cuadrado, escala por a². Como fórmulas, E[aX+b]=aE[X]+b y Var(aX+b)=a²Var(X). Sumar mueve solo el centro y deja la dispersión; multiplicar estira centro y dispersión, pero la varianza por el cuadrado. Gracias a esta regla, cuando cambias unidades o estandarizas datos, puedes calcular en la cabeza de inmediato cómo seguirán cambiando los estadísticos.