Esperanza y varianza
La lección anterior dijo que una distribución es la forma completa de cómo se reparte la probabilidad. Sin embargo, cargar con una distribución entera pesa demasiado. En la práctica, una distribución se resume con solo dos números: dónde se concentra y cuánto se dispersa. Esos dos son la esperanza y la varianza. La esperanza E[X] es el centro de la distribución, más exactamente su punto de equilibrio. Si ves la distribución como pesos sobre barras, la esperanza es el lugar donde un punto de apoyo haría que esas barras se equilibraran exactamente. Marca con un solo punto que «en promedio salen valores por aquí». La varianza es el tamaño de la dispersión: cuánto se alejan, en promedio, los valores de ese centro. Con el mismo centro, unos valores apiñados y otros muy repartidos son situaciones completamente distintas. En esta lección manejas la esperanza como punto de equilibrio y la varianza como promedio de distancias al cuadrado, y aprendes con las manos qué significan los dos números que resumen una distribución.
Primero, siente la esperanza en una balanza. Sobre la barra dorada hay cuatro pesas de distinto tamaño, y el número de cada una es su peso. El punto de apoyo donde la barra se equilibra exactamente es el centro de gravedad. Arrastra una pesa y el punto de apoyo dorado de abajo la sigue al instante para recuperar el equilibrio. Se ve cómo el punto de apoyo se inclina hacia las pesas pesadas. Por lejos que lleves una pesa ligera, el apoyo apenas se mueve, pero si mueves un poco una pesa pesada, el apoyo la sigue mucho. Eso es exactamente la esperanza. En probabilidad, el peso es la probabilidad de un valor y la posición es el propio valor. Cuanto más probable es un valor, con más fuerza tira del promedio. Así, la esperanza es el centro medido con la probabilidad como peso, el único punto en que la distribución se equilibra.
¿Cómo se calcula ese punto de equilibrio? Es un promedio ponderado. No el promedio corriente que suma los valores y divide entre cuántos hay, sino uno que multiplica cada valor por su probabilidad y los suma: E[X] = Σ x·p(x). Toma un dado. Un dado justo da de 1 a 6, cada uno con probabilidad 16, así que el promedio es 3,5. Un dado cargado, cuyo peso se inclina hacia un lado, es otra historia. Arrastra la altura de una barra para aumentar la probabilidad de una cara: esa cara sale más a menudo, y el triángulo azul de abajo, el promedio E[X], es atraído hacia ella. Cuanto más probable es un valor, más contribuye a la suma. Cada valor tiene voz en proporción a su probabilidad, y todos juegan a tirar de la cuerda por el lugar del promedio. Traduce a números la balanza del bloque anterior y obtienes justamente esta suma ponderada: peso = probabilidad, posición = valor, punto de equilibrio = Σ x·p(x).
Una vez conocido el centro, mide la dispersión: la varianza. La pregunta clave es cuánto se alejan, en promedio, los valores de la media. Promediar sin más las distancias no sirve, porque los valores por encima de la media dan distancias positivas y los de debajo, negativas, y se cancelan hasta dar 0. Por eso las distancias se elevan al cuadrado. Al elevarlas al cuadrado desaparece el signo y todo es positivo. Arrastra los puntos azules para separarlos y, para cada uno, se dibuja un cuadrado cuyo lado es la distancia a la media marcada por la línea punteada dorada; el área de ese cuadrado es la distancia al cuadrado. La varianza es el promedio de todas esas áreas. Cuando los puntos se apiñan cerca de la media, los cuadrados son pequeños y la varianza es pequeña; cuando se dispersan mucho, los cuadrados crecen y la varianza se dispara. Como las distancias van al cuadrado, un punto lejano se penaliza mucho más. Eso hace de la varianza una medida estricta de la dispersión, sensible a los valores extremos.
La varianza tiene un inconveniente. Como las distancias se elevaron al cuadrado, las unidades también. Si la estatura se mide en cm, la varianza está en cm², una unidad de área. Una dispersión de estatura de 25 centímetros cuadrados no le dice nada a nadie. Por eso se deshace el cuadrado con una raíz cuadrada, y eso es la desviación típica. Desviación típica = √varianza, y su unidad vuelve a ser el cm, la misma que la de los valores originales. Una dispersión de estatura de 5cm se entiende al instante. Arrastra σ por la pista de abajo y verás que la desviación típica σ es la anchura natural de la curva de campana, mientras la regla azul sobre la curva marca el tramo de σ a cada lado del centro. σ es también la distancia del pico al punto donde se dobla el hombro de la curva. Con σ pequeña la curva es estrecha y aguda; con σ grande, ancha y plana. En resumen, la varianza σ² es una magnitud en unidades al cuadrado, cómoda para calcular, y la desviación típica σ es la anchura de uso diario que permite sentir, en las unidades originales, cuánto se dispersan realmente las cosas.
Por último, mira cómo cambian estos dos números cuando tocas los valores. Cambiar X por aX+b es muy habitual en conversiones de unidades o calibraciones, como al pasar de Celsius a Fahrenheit o de metros a pies. Mueve a y b con las dos pistas de abajo y la distribución transformada dorada se dibuja junto a la original, gris y punteada. Primero, b suma la misma cantidad a todos los valores, así que desliza la distribución entera de lado sin cambiar su forma. La media se mueve en b, pero la dispersión no cambia nada, porque todo se movió a la vez y las distancias entre valores siguen iguales. a, en cambio, estira o encoge. La media se multiplica por a y la anchura de la curva también. Así, la desviación típica se vuelve |a| veces mayor y la varianza, que es una distancia al cuadrado, a² veces mayor. En fórmulas: E[aX+b]=aE[X]+b y Var(aX+b)=a²Var(X). Sumar mueve solo el centro y deja la dispersión igual; multiplicar estira centro y dispersión, pero la varianza crece con el cuadrado. Gracias a esta regla, cambies de unidades o estandarices los datos, puedes calcular de cabeza cómo cambiarán las estadísticas.