Distribución de probabilidad
La lección anterior dijo que la probabilidad es área. Pero hablar solo de la probabilidad de un suceso es la mitad del dibujo. Lo que de verdad queremos saber es con qué frecuencia sale cada valor: cómo se reparte la probabilidad entre los valores posibles. La forma completa de ese reparto es la distribución. La suma de dos dados cae a menudo cerca de 7, mientras que 2 o 12 son raros. El mapa completo de «a menudo» y «rara vez» es la distribución, y dibujada como gráfico de barras muestra un pico. Cuando los valores son discretos, cada barra es una probabilidad; cuando son continuos, las barras se vuelven infinitamente finas y se convierten en una curva suave, la densidad. Hay algo decisivo aquí. En una distribución continua, la probabilidad no es la altura de la curva, sino el área bajo ella. El «área = probabilidad» de la lección anterior continúa tal cual. En esta lección dibujas las distribuciones como barras, luego como curvas y luego como áreas, y aprendes a simple vista cómo se reparte la probabilidad.
Empieza por una distribución discreta, en la que los valores van a saltos. Un solo dado da de 1 a 6, cada uno con exactamente 16, así que seis barras se alinean a la misma altura. Pero mira la suma de dos dados y la forma cambia de golpe. Una suma de 7 puede salir de seis maneras, (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1), mientras que una suma de 2 sale de una sola, (1,1). Así, el 7 se alza con 636 mientras que el 2 y el 12 quedan abajo con 136, y aparece un triángulo abombado en el centro. La altura de cada barra es la probabilidad de ese valor, y esto se llama función de masa de probabilidad, PMF. Cambia entre los dos casos con las pestañas y toca una barra para ver su probabilidad como fracción encima de ella. La clave es que todas las alturas de las barras suman exactamente 1, porque algún valor tiene que salir. Una distribución es la cuestión de cómo se reparte una probabilidad total de 1 entre los valores posibles.
¿Y si los valores son continuos, como la estatura, el peso o el error de medición, donde los resultados siguen sin huecos? Entonces contar barras una a una no tiene sentido, porque la probabilidad de exactamente 173,4825... cm es prácticamente 0. En su lugar, se reúnen muestras, se agrupan en intervalos y se dibuja un histograma. Aumenta el tamaño muestral N en la pista de abajo y el cambio se hace evidente. Con un N pequeño, las barras azules son irregulares, pero a medida que N crece los altibajos casuales se promedian y desaparecen, y el contorno de las barras se acerca a la única curva dorada. Esa curva es la función de densidad de probabilidad. Un histograma es una aproximación hecha con una muestra finita, y la curva de densidad es su forma ideal cuando las muestras se acumulan sin fin. Así, la curva de densidad es la PMF de los valores continuos: una versión suave hecha cortando las barras infinitamente finas y uniéndolas. Cuantos más datos reúnes, más claramente aparece la verdadera distribución que hay detrás.
¿Cómo se lee la probabilidad en una curva de densidad? Aquí es donde más se confunde la gente. La altura de la curva no es una probabilidad, porque en el caso continuo la probabilidad de un solo punto es 0. La probabilidad se lee, en cambio, como el área bajo la curva. La probabilidad de que X esté entre a y b es el área bajo la curva de a a b. Arrastra los límites verde y naranja para ensanchar el intervalo entre ellos, y el área sombreada crece junto con la probabilidad que aparece abajo. Si incluyes el centro alto, el área es grande aun con el mismo ancho; en las colas planas es pequeña aunque el ancho sea igual. Por eso los valores centrales salen más a menudo. El área bajo toda la curva es exactamente 1, igual que el tablero entero valía 1 en la lección anterior. Al final, la probabilidad en una distribución continua consiste en medir áreas, es decir, en integrar. Así es como se usa en probabilidad la integral del cálculo.
Las distribuciones se clasifican según la forma de su reparto, y cada forma encaja con ciertas situaciones. Usa las pestañas para ver tres distribuciones representativas. La distribución uniforme es un rectángulo plano. Encaja cuando cualquier valor dentro de un intervalo es igual de probable, como los números aleatorios que genera una computadora o el error de redondeo. La distribución exponencial es más alta al principio y cae en picado hacia la derecha. Aparece cuando las esperas cortas son frecuentes y las largas, raras: el tiempo hasta el próximo suceso, el tiempo hasta que falla una pieza, los intervalos entre llegadas de clientes. La distribución normal es la famosa campana, más alta en el centro y descendiendo con suavidad y simetría a ambos lados. La mayor parte de la dispersión natural que surge al sumar muchos factores pequeños, como estaturas, notas de examen y errores de medición, tiene esta forma. En cada pestaña, una línea bajo la figura dice dónde aparece esa distribución. Si conoces la forma de una distribución, puedes anticipar cómo se comportarán los datos.
Por último, hay otro dibujo que forma pareja con la densidad: la función de distribución acumulada, o CDF. Mientras la densidad muestra cuánta probabilidad se concentra cerca de cada valor, esta función muestra la probabilidad de obtener un valor menor o igual que uno dado: la probabilidad acumulada desde el extremo izquierdo hasta ese punto. El dibujo lo aclara. Arriba está la curva de densidad dorada, y abajo, la curva acumulada azul. Arrastra el control y, arriba, se sombrea el área hasta ese punto, mientras que, abajo, el valor de esa área se marca con un punto. Así, CDF(x) es exactamente el área bajo la curva de densidad hasta ese punto. Mueve el control del extremo izquierdo al derecho y va barriendo cada vez más área, así que la curva acumulada empieza en 0 y sube hasta 1 sin bajar nunca. Donde la densidad tiene su pico, la curva acumulada sube con fuerza; en las colas, sube despacio. Las dos curvas son una pareja, dos miradas a la misma distribución. La densidad es una pendiente y la curva acumulada es el área que va apilando esa pendiente, así que la relación entre derivar e integrar también se cumple aquí.