Un campo conservativo brota de un potencial
En la lección 5 viste un hecho curioso: en algunos campos el trabajo es el mismo sin importar cómo traces el camino. Estos son campos conservativos. Un campo conservativo esconde un secreto: debajo yace un paisaje de alturas invisible, un potencial φ, y el campo es el gradiente de ese paisaje (F = ∇φ). Así que el trabajo es solo la diferencia de altura entre inicio y final, y el camino no importa. La señal que lo revela es el rotacional. Un campo conservativo tiene rotacional cero en todas partes, y una vuelta alrededor de cualquier lazo cerrado da exactamente cero. En cambio, si el rotacional no es cero, como en un remolino, ese potencial no existe en absoluto. Esta lección muestra el mismo hecho en cuatro caras: rotacional cero, existe un potencial, independencia del camino, lazo cerrado cero. Las cuatro son, en realidad, un solo cuerpo.
La prueba más rápida de un campo conservativo es el rotacional. Alterna entre los dos campos. Arrastra la sonda por el campo conservativo F = ∇φ, y donde la pongas el rotacional (∇×F)z marca cero. El punto se vuelve verde por aprobado. Un rotacional cero significa que no hay torsión que obligue a girar, la señal de que un potencial yace debajo. Ahora cambia al remolino [−y, x]. Arrástralo a donde sea y el rotacional se fija en un 2 constante, así que el punto se vuelve naranja por reprobado. Un solo punto ya lo decide: si aun un sitio tiene rotacional no nulo, el campo no es conservativo.
Cuando el rotacional es cero puedes recuperar por completo el potencial invisible φ. Las flechas son la prueba. Cada flecha del campo conservativo F = ∇φ apunta hacia el lado más brillante y más alto, la subida de φ. Arrastra el punto dorado. La altura φ en ese sitio aparece como número. Ese valor es la altura que construyes paso a paso al partir del origen e integrar a lo largo de F. Como cualquier ruta de integración da el mismo valor (independencia del camino), φ queda fijado a un número dondequiera que pongas el punto. Así, dado solo el campo F, puedes reconstruir el paisaje φ que hay debajo, punto por punto. Por eso "F = ∇φ here" sigue al punto a todas partes.
Ahora prueba la independencia del camino directamente con dos rutas. Hay dos caminos de A a B: un segmento recto que va directo y un arco de rodeo que sube alto. Pulsa el interruptor para iluminar una ruta a la vez. El trabajo a lo largo de cada ruta aparece como número. Como el campo es conservativo, los dos valores son idénticos. Es más, ambos coinciden exactamente con φ(B) − φ(A). Una sola diferencia de alturas en los extremos zanja toda la respuesta. Con el remolino de la lección 5 las dos rutas se habrían separado. Aquí, por más que dobles el camino, si el inicio y el final son iguales la respuesta es igual. Ese es el corazón de un campo conservativo.
¿Por qué los dos valores siempre concuerdan? Por el teorema fundamental de las integrales de línea, el teorema del gradiente. Mantén fijo el extremo A y arrastra el extremo B. Se dibuja un camino de A a B, y la integral de línea a lo largo de él, ∫C F·dr, y la diferencia de altura φ(B) − φ(A) aparecen lado a lado. Dondequiera que arrastres B, los dos siguen iguales. En símbolos, ∫C ∇φ·dr = φ(B) − φ(A). Todos los pasitos que acumulas a lo largo del camino se pliegan limpiamente en solo la diferencia de alturas de inicio y final. Una integral general te hace seguir cada punto del camino, pero en un campo conservativo conocer solo los dos extremos termina la tarea.
Por último, deja claro que no todo campo tiene un potencial. El remolino F = [−y, x] tiene rotacional 2 en todas partes. Usa el deslizador para agrandar un lazo centrado en el origen. Las flechas doradas del borde giran todas en el mismo sentido. El ∮F·dr que sumas una vuelta aparece como número, y nunca es cero para ningún radio. Es exactamente 2πr², así que cuanto mayor el lazo, mayor crece. Pero si este campo tuviera un potencial φ, el teorema del gradiente obligaría a que un lazo cerrado, donde inicio es igual a final, diera ∮ = 0. El solo hecho de que ∮ no sea cero prueba que este remolino no tiene potencial alguno. Es lo opuesto exacto de un campo conservativo.