Campo conservativo
Si el trabajo que hace un campo al ir de un punto a otro es el mismo tomes el camino que tomes, ese campo es conservativo. Bajo un campo conservativo hay un mapa de altura invisible, un potencial φ, y el campo es el gradiente de ese mapa, F=∇φ. Así el trabajo es solo la diferencia de altura entre el inicio y el final, y el camino no importa. La señal es el rotacional. Un campo conservativo tiene rotacional 0 en todas partes, y una vuelta a un lazo cerrado suma exactamente 0. Si el rotacional no es 0, como en un giro, no existe tal potencial. El mismo hecho muestra cuatro caras. Rotacional 0, existe un potencial, el camino no importa, y la suma en un lazo cerrado es 0. Las cuatro son un solo cuerpo. La gravedad y la electrostática llevan esta cara, y por eso no tienes que volver a contar el trabajo a lo largo de cada camino.
La prueba más rápida de un campo conservativo es el rotacional. Alterna los dos campos y la diferencia aparece enseguida. Arrastra la sonda sobre el campo conservativo F=∇φ y el rotacional (∇×F)z se queda pegado a 0 donde lo pongas, y el punto se vuelve verde para marcar un pase. Rotacional 0 significa que no hay un giro que te haga dar vueltas, y esa es la señal de que hay un potencial debajo. Cambia al giro [−y, x] y dondequiera que arrastres, el rotacional se queda en la constante 2 y el punto se vuelve naranja para marcar un fallo. Un solo punto basta para decidir. Si el rotacional no es 0 ni en un solo sitio, el campo no es conservativo. El verde y el naranja marcan el pase y el fallo, y el número del rotacional se dibuja en dorado.
Si el rotacional es 0, el potencial invisible φ se puede recuperar entero, y las flechas son la prueba. En el campo conservativo F=∇φ cada flecha apunta hacia el lado más brillante y más alto, la subida de φ. Arrastra el punto dorado y la altura φ de ese sitio aparece como un número. Ese valor es la altura apilada un paso cada vez al integrar el campo desde el origen. Cada camino de integración da el mismo valor, así que pongas el punto donde lo pongas, φ es un solo número. Dado solo el campo, el terreno φ de debajo se puede reconstruir punto a punto. Junto al punto las palabras F = ∇φ dicen que la flecha es la subida de ese sitio.
Ahora mira la independencia del camino en dos caminos. Dos caminos van de A a B, un segmento recto dorado que va directo y un arco de rodeo azul que sube mucho. Pulsa un botón para encender un camino cada vez y el trabajo a lo largo de cada camino aparece como un número. Como el campo es conservativo los dos valores son iguales, y ambos coinciden exactamente con φ(B) − φ(A). La diferencia de altura en los extremos decide toda la respuesta. Un giro habría separado los dos valores, pero aquí por mucho que dobles el camino, el mismo inicio y el mismo final dan la misma respuesta. Ese es el corazón de un campo conservativo. El segmento recto dorado y el rodeo azul dando el mismo número es todo lo que muestra la figura.
¿Por qué los dos valores caen siempre uno sobre el otro? Por el teorema fundamental de las integrales de línea, el teorema del gradiente. Deja fijo el extremo A y arrastra el extremo B, y se dibuja un camino dorado de A a B. A lo largo de ese camino la integral de línea ∫C F·dr y la diferencia de altura φ(B) − φ(A) quedan una al lado de la otra. Dondequiera que arrastres B, los dos valores siempre coinciden. En símbolos, ∫C ∇φ·dr = φ(B) − φ(A). Los pasos pequeños apilados a lo largo del camino se pliegan en la diferencia de altura entre el inicio y el final. Una integral ordinaria tiene que seguir cada punto del camino, pero un campo conservativo termina cuando conoces los dos extremos. El texto verde al lado dice que los dos valores siempre coinciden.
Por último, deja fijado que no todo campo tiene un potencial. El giro F=[−y, x] tiene rotacional 2 en todas partes. Agranda con el deslizador un lazo centrado en el origen y las flechas doradas del contorno giran todas en el mismo sentido. La suma de una vuelta, ∮F·dr, aparece como un número, y no es 0 en ningún radio. Exactamente es 2πr², así que crece al agrandar el lazo. Si este campo tuviera un potencial φ, el teorema del gradiente obligaría a un lazo cerrado, donde inicio=fin, a tener ∮ igual a 0. El solo hecho de que ∮ no es 0 prueba que este giro no tiene potencial alguno. Es lo contrario de un campo conservativo, y esa conclusión está escrita en naranja.