Vectores propios y valores propios
Los valores y vectores propios suelen llamarse el jefe final del álgebra lineal. Los nombres intimidan, pero el núcleo es sencillo. Una matriz es una transformación que gira y estira todo el espacio a la vez, así que la mayoría de los vectores salen desviados de su dirección. Sin embargo, unas pocas direcciones especiales no giran en absoluto: solo se estiran o se encogen sobre su propia recta. Esas direcciones que no giran son los vectores propios, y cuánto se estiran es el valor propio. Eso es todo. Y estos dos reúnen lo que vimos en «Las matrices son transformaciones», «El determinante es el factor de escala del área» y «Resolver un sistema es deshacer la transformación».
Empieza por el hecho de que la mayoría de los vectores giran. Fija una transformación y haz girar una flecha alrededor del círculo: la flecha tenue es la original y la dorada es la transformada. En la mayoría de los ángulos, las dos apuntan a lados distintos. La transformación sacó al vector de su recta original. Debajo de la figura aparece el ángulo entre las dos flechas, y mientras giras el control ese ángulo casi siempre está abierto. Lo que apuntaba hacia arriba ahora apunta en diagonal, y lo que apuntaba a la derecha se levanta; eso es lo normal. Una transformación revuelve las direcciones.
Sin embargo, si sigues girando, en ciertos ángulos especiales la flecha dorada cae exactamente sobre la misma recta que la tenue. La dirección no cambió, solo la longitud; esa dirección es un vector propio. Las dos líneas punteadas de la figura son esas direcciones, y cuando el control llega a una, esa línea se engrosa y abajo aparece el aviso de vector propio junto con su valor propio. Es una dirección que conserva su recta en lugar de dejarse arrastrar por el torrente de la transformación. Cuánto se estira sobre esa recta, el multiplicador, es el valor propio. Como en esta figura, en 2D suele haber dos direcciones así; aquí una se estira y la otra se encoge un poco. Por arbitraria que parezca una transformación, tiene ejes propios: direcciones que no toca.
Mira exactamente qué hace un valor propio en su dirección. Si viajas sobre un vector propio, la transformación es solo multiplicar por un número. Un valor propio de 2 duplica las longitudes en esa dirección, 0,5 las reduce a la mitad y 1 las deja igual. Un valor propio negativo voltea el vector al lado opuesto de la misma recta: la recta se conserva y solo se intercambian el frente y la espalda. Cambia la matriz con los cuatro deslizadores y cada vector propio unitario tenue y su flecha transformada de color quedan sobre la misma línea punteada, con los dos valores propios escritos abajo. Acerca la matriz a una rotación pura y aparece el aviso de que no hay vectores propios reales, porque ninguna dirección puede quedarse en su recta. A lo largo de sus vectores propios, una transformación que parecía complicada se reduce a una sola multiplicación.
Aquí está la parte realmente bonita. Vuelve a dibujar la cuadrícula siguiendo las direcciones de los vectores propios, en lugar de la horizontal y la vertical de siempre, y la transformación se ve completamente distinta. Ni giros ni torsiones: cada eje simplemente se estira según su propio valor propio. En el sistema de coordenadas cuyos ejes son los vectores propios, esa matriz complicada se convierte en una forma limpia de «multiplicar cada eje por un número», una matriz diagonal. Alterna entre los botones «Cuadrícula estándar» y «Cuadrícula de ejes propios»: en la cuadrícula de ejes propios, las dos flechas de color solo se estiran a lo largo de sus ejes, y la expresión de abajo pasa a la forma diagonal. Los vectores propios son los ejes más naturales de una transformación, y vista desde ellos, cualquier transformación muestra su cara más simple.
¿Cómo se encuentran entonces estas direcciones? Un vector propio v es un vector para el que aplicar A da lo mismo que multiplicar por λ, así que Av = λv. Si lo reordenas, queda (A − λI)v = 0. Que un vector v no nulo se envíe a 0 significa que la transformación (A − λI) aplastó el espacio. Como mostró «Resolver un sistema es deshacer la transformación», entonces su determinante tiene que ser 0. Por eso, al resolver det(A − λI) = 0 para λ salen los valores propios. Mueve λ con el deslizador: el cuadrado unidad bajo esa matriz se aplana y se hincha, y en cuanto λ alcanza un valor propio colapsa en una recta y aparece «¡valor propio!». La cadena que vimos antes, determinante 0 = aplastado = no se puede recorrer hacia atrás, era la llave para hallar los valores propios. Además, el determinante es el producto de todos los valores propios, así que el factor de escala del área es el producto de los factores de estiramiento de los ejes. La comprobación de la última línea es justamente eso: todo está conectado.