Determinante como área

Para saber cuántas veces cambia el área, basta con elegir una figura de referencia y ver cuánto crece. La referencia más limpia es el cuadrado unidad que forman î y ĵ, cuya área es exactamente 1. Al aplicar una matriz, î y ĵ se mueven, y como mostró la lección anterior, «Las matrices son transformaciones», las dos columnas de la matriz son los lugares adonde van î y ĵ. Así, el cuadrado se deforma en un paralelogramo. Mueve los cuatro deslizadores y el paralelogramo dorado cambia de forma, mientras abajo aparecen el determinante y su valor absoluto, que es el área. Como el área original era 1, el área nueva es directamente el factor de escala, y eso es el determinante. Cuando el determinante se vuelve negativo, el paralelogramo se pone rojo; qué significa eso lo veremos enseguida. Si calculas el área de este paralelogramo a partir de las coordenadas, obtienes exactamente ad menos bc. La fórmula que memorizaste en la escuela era en realidad una manera de calcular esta área.

Quizá te preguntes si esto solo vale para el cuadrado unidad. No es así. Coloca cualquier figura y su área cambia en la misma proporción. Un círculo o una mancha irregular se pueden pensar como muchos cuadraditos; cada pieza crece por el mismo factor, así que el conjunto también. La figura muestra a la vez un triángulo verde y un cuadrilátero azul. Cambia la matriz con los deslizadores y las dos figuras se deforman de maneras distintas, pero los dos factores de área que aparecen abajo siempre coinciden entre sí y con el valor absoluto del determinante. Por eso el determinante no es una propiedad de una figura concreta, sino un único factor de escala del área que se aplica por igual a todo el espacio.

El área debería ser positiva y, sin embargo, a veces el determinante sale negativo. ¿Qué puede significar un área negativa? Significa que el espacio se dio la vuelta. Si volteas una hoja de papel, la escritura se invierte como en un espejo; una transformación puede voltear el plano del mismo modo. Un giro que iba de î a ĵ en sentido antihorario pasa a ser horario después del volteo. En la figura, el arco y su punta de flecha indican el sentido del giro de î a ĵ. Lleva el deslizador hacia la izquierda: en cuanto el determinante se vuelve negativo, el arco gira al revés y se pone rojo, y la etiqueta cambia a «volteado». El signo negativo registra que el sentido se invirtió. Un solo determinante guarda a la vez un tamaño, el factor de escala del área, y un sentido, si el espacio se volteó o no.

Llega el caso más importante. El deslizador de esta figura controla directamente el determinante. Llévalo poco a poco hacia 0 y el paralelogramo se vuelve cada vez más plano hasta colapsar en una sola recta. El área pasó a ser 0, y dos dimensiones quedaron aplastadas en 1. En ese momento aparece abajo el aviso «sin inversa». Lo esencial es que, una vez aplastado el espacio, no hay manera de volver atrás. Puntos distintos quedaron aplastados en el mismo lugar, así que con solo mirar los puntos de la recta no se puede saber de qué parte del plano original venían. «Una matriz con determinante 0 no tiene inversa» es en realidad este dibujo. Lo que se aplastó no se puede desplegar. La historia sigue como corresponde en la próxima lección, sobre sistemas de ecuaciones e inversas.

¿Qué le pasa al área si aplicas dos transformaciones seguidas? No hay que complicarse. Aplica una transformación que duplica el área y luego otra que la triplica: el área final es 2 por 3, es decir, 6 veces la original. Por eso el determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes: det(AB) = det(A) × det(B). Suele memorizarse como fórmula, pero si recuerdas que los factores de escala se multiplican, resulta evidente. Usa los botones de flecha para aplicar al cuadrado unidad la primera matriz y luego la segunda: el valor del área que aparece abajo se multiplica en cada paso, y la última línea confirma que el producto de los dos determinantes es igual al determinante de la transformación compuesta.