Matrices como transformaciones
A primera vista, una matriz parece solo una tabla de números ordenados en un recuadro. Por eso todos intentan memorizarla, y esa es justamente la razón por la que sigue confundiendo durante años. Una matriz no es una tabla, es una acción. Más exactamente, es una función que mueve todos los puntos del plano a la vez: estira el espacio, lo gira y lo empuja de lado. Cuando esta imagen se asienta, resulta mucho más fácil entender por qué la multiplicación de matrices se define como se define y qué miran los valores propios que llegarán más adelante.
Primero, toma el pulso a la idea. El escenario está cubierto por una cuadrícula; cambia los cuatro números de la matriz con los cuatro deslizadores de abajo y toda la cuadrícula se curva y se estira a la vez. No se mueve un punto, sino el plano entero de una sola pieza. Eso es una transformación, y una matriz es la orden de cambiar el espacio de una forma concreta. La flecha verde î y la flecha naranja ĵ se mueven junto con la cuadrícula. Lo importante es que la cuadrícula nunca se arruga al azar. Las rectas siguen siendo rectas después de la transformación, las paralelas siguen paralelas y la separación se mantiene uniforme. Cambiar el espacio conservando ese orden es lo que hace una transformación matricial. Después de jugar con los deslizadores, pulsa «Reiniciar» para volver a la transformación que no cambia nada.
¿Cómo se escribe entonces una transformación tan complicada con solo unos pocos números? El secreto es sorprendentemente simple: basta con seguir dos flechas. Si sabes adónde van, después de la transformación, î, una unidad a la derecha, y ĵ, una unidad hacia arriba, ya está. Y aún mejor: esos puntos de llegada son exactamente las dos columnas de la matriz; la primera columna es adonde fue î, y la segunda, adonde fue ĵ. Pulsa «Aterrizar» y las dos flechas dejan su posición original, que queda marcada con líneas punteadas, y pasan a su nuevo lugar, con las coordenadas de llegada escritas junto a cada punta. Compara esas coordenadas con la matriz de abajo: las verdes coinciden con la primera columna y las naranjas con la segunda. Los cuatro números que parecían no significar nada eran en realidad coordenadas que dicen «manda î aquí y ĵ allá». Los botones î y ĵ resaltan una flecha cada vez.
¿De qué sirve conocer solo î y ĵ? Aquí está la clave. No necesitas conocer ningún otro punto por separado. Todo vector del plano es, al final, cierta cantidad de î más cierta cantidad de ĵ. El punto (3, 2), por ejemplo, es 3 veces î más 2 veces ĵ. La transformación conserva esa mezcla, así que el (3, 2) transformado es 3 veces el lugar adonde fue î más 2 veces el lugar adonde fue ĵ. Arrastra el punto azul: sobre la cuadrícula transformada, la línea verde punteada coloca copias del nuevo î y la naranja punteada añade copias del nuevo ĵ hasta llegar al punto, y la ecuación de abajo muestra las cantidades. Esta es la linealidad de la lección anterior. Fija el destino de î y ĵ, y los infinitos puntos restantes los siguen solos; por eso los cuatro números de una matriz pueden dirigir todo el espacio.
Si ya hiciste una transformación y quieres aplicar otra encima, por ejemplo girar primero y luego empujar de lado, multiplica las dos matrices. Es decir, multiplicar matrices significa hacer transformaciones una tras otra. La extraña regla que aprendiste en la escuela para multiplicar filas por columnas calcula el resultado de aplicar las transformaciones en secuencia. Por eso el orden importa. La figura trata dos casos, girar y luego aplicar la cizalla, o aplicar la cizalla y luego girar; pulsa «Cambiar orden» y la forma de la cuadrícula cambia, y las dos matrices producto de los recuadros de abajo son distintas. Si cambias el orden, cambia el resultado. Que AB sea distinto de BA nunca fue una regla para memorizar: era algo evidente.
Ahora recorre algunas transformaciones típicas: rotación, escalado, cizalla (un empujón de lado) y reflexión. Pulsa los botones uno a uno y la cuadrícula cambia según cada acción, lo que muestra que cada una corresponde a una sola matriz. Todas las acciones conocidas que cambian el espacio son, al final, matrices. Por último, pulsa «Aplastar» y el espacio queda comprimido en una sola recta. Es un caso especial: el valor llamado determinante, que aparece abajo, se vuelve 0. Es la señal de que la transformación aplastó el espacio. Qué significa ese aplastamiento es el tema de la lección siguiente, la del determinante.