La divergencia es el flujo neto que sale
Imagina dibujar un círculo diminuto alrededor de un punto. Si por esa frontera sale más flujo del que entra, el punto está expulsando algo. Eso es la divergencia: la cantidad neta que se escapa de un punto. Más salida que entrada lo hace una fuente; más entrada que salida lo hace un sumidero; cantidades iguales dan cero, así que el flujo solo pasa de largo. Como fórmula es cuánto se esparce la parte a lo ancho yendo al este (∂u/∂x) más cuánto se esparce la parte hacia arriba yendo al norte (∂v/∂y). En ingeniería es el número que precisa dónde algo se fuga, se junta o se comprime.
Arrastra la sonda sobre el campo. Un pequeño anillo de ocho flechas de muestra envuelve el sitio donde se posa. Cuando estas flechas se abren hacia afuera el flujo se está escapando ahí; cuando se juntan hacia adentro está siendo atraído. Ponla cerca del origen y las flechas se esparcen en todas direcciones, así ∇·F sale positivo y aparece como una fuente dorada. Arrástrala lejos y las flechas se curvan hacia adentro, ∇·F se vuelve negativo y se convierte en un sumidero azul. En algún punto intermedio, sobre un anillo de radio cerca de 2.45, la entrada y la salida se equilibran justo y ∇·F cae a cero.
Cambia entre tres campos con los botones y lee el signo. La fuente tiene cada flecha alcanzando hacia afuera desde el origen, así que ∇·F es +1.2, positivo. El sumidero las tiene todas juntándose hacia adentro, así que es −1.2, negativo. El remolino tiene cada flecha girando alrededor del lazo, pero entra tanto como sale, así que ∇·F es exactamente cero. Aquí está la clave: por más que gire, eso no tiene nada que ver con la divergencia. La divergencia no pregunta "gira" sino solo "se esparce o se junta". Observa el gran número voltear con su signo.
La divergencia es, al final, una suma de dos piezas. Arrastra la sonda y el esparcimiento de la parte a lo ancho yendo al este (∂u/∂x, verde) y el de la parte hacia arriba yendo al norte (∂v/∂y, naranja) suben cada uno como una barra. Suma las dos barras y tienes ∇·F mismo. En el origen ambos rondan +1, así que la suma es +2, una fuente fuerte. Arrastra hacia afuera y un eje a la vez se dobla en negativo, la suma se encoge, y lejos ambos se vuelven negativos y se hace un sumidero. Mira la sola línea "∂u/∂x + ∂v/∂y = ∇·F" cobrar vida en números vivos.
La verdadera definición de divergencia es el flujo que cruza una frontera, el flujo o flux. Arrastra el centro del círculo y mueve el deslizador del radio. Por todo el borde, las flechas muestran cuánto flujo se escapa a lo largo de la normal hacia afuera. Suma el borde entero y obtienes el flujo total Φ; divídelo por el área del círculo y Φ/área es la divergencia media dentro. Cuanto más reduces el círculo, más converge Φ/área al único valor de ∇·F en el centro. Así la divergencia es una cantidad que puedes imaginar: el flujo de salida por unidad de área de una frontera que se hace minúscula.
Ahora ve la divergencia no en un punto sino por todo el campo. Mueve el deslizador s y el campo cambia suavemente a F=[s·x − x³/9, s·y − y³/9]. El color de fondo es el mapa de ∇·F mismo. El dorado es una fuente (positiva), el azul un sumidero (negativo), y la frontera entre ambos es el anillo de divergencia cero. Sube s y el esparcimiento en el origen se intensifica, la región dorada se ensancha y el anillo cero se empuja hacia afuera. Baja s y el dorado se encoge mientras el sumidero azul inunda hacia adentro. Mira cómo un solo mando desplaza toda la frontera entre fuente y sumidero.