Divergencia de un campo
Dibuja un círculo diminuto alrededor de un punto. Si por su borde sale más de lo que entra, ese punto está echando algo hacia fuera. Eso es la divergencia: la cantidad neta que se escapa de un punto. Si gana la salida, es una fuente (source); si gana la entrada, es un sumidero (sink); y si son iguales, vale 0 y el flujo simplemente pasa. En fórmula, es cuánto se extiende hacia el este la componente horizontal (∂u/∂x) más cuánto se extiende hacia el norte la componente vertical (∂v/∂y). En ingeniería, este solo número señala dónde hay fugas, dónde se acumula algo y dónde se comprime.
Arrastra la sonda sobre el campo y se colocan ocho flechas de muestra alrededor de un anillo punteado en ese lugar. Donde las flechas apuntan hacia fuera, el flujo se escapa; donde se juntan hacia dentro, está siendo absorbido. Cerca del origen se extienden en todas direcciones, la divergencia es positiva y el anillo brilla como una fuente (source) dorada. Llévala lejos y las flechas se curvan hacia dentro, la divergencia se vuelve negativa y el anillo pasa a ser un sumidero (sink) azul. En algún punto intermedio, en un anillo de radio cercano a 2,45, entrada y salida se equilibran exactamente y la divergencia vale 0. Abajo aparece la divergencia en el lugar actual.
Pulsa los botones y se alternan tres campos. En la fuente, todas las flechas salen del origen hacia fuera y la divergencia es +1,2, positiva; en el sumidero, todas se juntan hacia dentro y vale −1,2, negativa. En el remolino, las flechas giran a lo largo del borde, sale tanto como entra y la divergencia es exactamente 0. La clave es que, por fuerte que sea el giro, no tiene nada que ver con la divergencia. La divergencia mira solo si algo se extiende o se junta, no si gira, y el número grande de abajo, que cambia junto con su signo, lo deja claro.
La divergencia también es la suma de dos piezas. Arrastra la sonda y aparecen dos barras: cuánto se extiende hacia el este la componente horizontal (∂u/∂x, verde) y cuánto se extiende hacia el norte la componente vertical (∂v/∂y, naranja). Sumar las dos barras da la divergencia; en el origen ambas valen alrededor de +1, así que la suma es +2, una fuente intensa. Lleva la sonda hacia fuera y los ejes se vuelven negativos uno tras otro, de modo que la suma disminuye, y lejos ambos son negativos y se convierte en un sumidero. La única línea «∂u/∂x + ∂v/∂y = ∇·F» cobra vida en números.
La definición de verdad de la divergencia es el flujo que atraviesa un borde: el flujo neto. Arrastra el centro del círculo y mueve el deslizador del radio, y unas flechas muestran cuánto flujo se escapa por la normal exterior en cada punto del borde. Sumar todo el borde da el flujo total Φ, y dividirlo entre el área del círculo da Φ/área, la divergencia media dentro. Cuanto más pequeño haces el círculo, más converge Φ/área al único valor de ∇·F en el centro, y las dos últimas de las tres lecturas de abajo se van igualando. Así, la divergencia es una magnitud que se capta en un dibujo: la salida por unidad de área a través de un borde muy pequeño.
Ahora mira la divergencia no en un punto, sino en todo el campo. Mueve el deslizador s y el campo cambia con suavidad como F=[s·x − x³/9, s·y − y³/9]. El color de fondo es un mapa de la divergencia: el dorado es fuente, positiva; el azul es sumidero, negativa; y la frontera entre ambos es el anillo de divergencia cero. Sube s y la expansión en el origen se refuerza, la región dorada se ensancha y el anillo cero se desplaza hacia fuera. Baja s y el dorado se encoge mientras el sumidero azul se extiende hacia el centro. Abajo aparece el radio de ese anillo. Un solo control mueve entera la frontera entre fuente y sumidero.