La SVD es rotar, estirar, rotar
Por enredada que parezca una matriz, en realidad son solo tres movimientos limpios: girar una vez (Vᵀ), estirar por separado a lo largo de dos ejes (Σ) y girar otra vez (U). Mete el círculo unitario entero y sale una elipse pulcra, y las longitudes de sus semiejes son justamente los valores singulares. El mayor valor singular carga casi toda la forma de la elipse. La compresión de imágenes y el PCA descansan sobre ese único hecho. En el primer widget, recorre los movimientos uno a uno y observa cómo un círculo se vuelve elipse.
Recorre las etapas con los botones. La etapa 0 es solo el círculo unitario, con los vectores singulares derechos v1, v2 marcados en él. La etapa 1, Vᵀ, gira el círculo, pero un círculo es un círculo y la forma no cambia; en cambio v1 y v2 caen exactamente sobre los ejes x e y. La etapa 2, Σ, estira solo a lo largo de esos dos ejes, formando una elipse pulcra con semieje σ1 en x y σ2 en y. La etapa 3, U, gira esa elipse una vez más hacia la forma final inclinada, la imagen de A, cuyos dos semiejes son σ1·u1 y σ2·u2. Rotar, estirar, rotar: esos tres movimientos construyen cualquier matriz.
Ahora quita las rotaciones y deja solo el estiramiento (U = V = I). El control σ1 fija cuánto se tira del círculo unitario a lo largo del eje x, y σ2 a lo largo del eje y, y esos dos valores pasan a ser las longitudes de los semiejes de la elipse. Un valor singular es solo cuántas veces se estira ese eje. Sube σ1 y la elipse se ensancha; baja σ2 y se aplana verticalmente. Desliza uno hacia 0 y la elipse colapsa por completo a lo largo de ese eje en un único segmento de recta. En ese momento el rango de la matriz cae de 2 a 1, y aparece un aviso.
Ahora toma las tres piezas en tus propias manos. Los controles fijan el primer ángulo de rotación (V), los dos factores de estiramiento (σ1, σ2) y el último ángulo de rotación (U), y juntos son A = U Σ Vᵀ. La vista muestra a la vez cómo se deforma la rejilla y hacia qué elipse va el círculo unitario, mientras el panel de abajo muestra las cuatro entradas de esa A. Gira los ángulos y factores y verás que por arbitrarios que parezcan los números de la matriz, siempre nacen de dos rotaciones limpias y un estiramiento de ejes. Ninguna matriz 2x2 escapa de esta descomposición rotar, estirar, rotar.
Esta descomposición tiene dos juegos de direcciones: las de entrada v1, v2 (los vectores singulares derechos) y las de salida u1, u2 (los vectores singulares izquierdos). Usa el conmutador para elegir un par. Pasa v1 por A y sale exactamente σ1·u1; pasa v2 y sale σ2·u2. Así, una dirección de entrada v se vuelve una dirección de salida u, escalada por su valor singular. La flecha azul sobre el círculo unitario es la entrada v; la flecha sobre la elipse es su salida. Las direcciones de V entran, las de U salen, dimensionadas por los valores singulares. Eso es la SVD en una frase.
Por último, comprueba si la forma de la elipse vive de verdad casi por entero en un valor singular grande. El rango-2 del conmutador es la A completa, toda la elipse inclinada. Cambia a rango-1 y solo queda la pieza σ1·u1·v1ᵀ, de modo que la elipse se asienta por completo sobre su eje más largo (el eje mayor), convirtiéndose en un segmento de longitud σ1. Has descartado la pieza pequeña σ2. La vista muestra la energía que captura esa pieza grande, σ1²/(σ1²+σ2²), en porcentaje. Por lo general esa única pieza conserva casi toda la forma. Quedarse solo con el mayor valor singular preserva la forma casi completa, y esa es la idea central de la compresión y el PCA.