Descomposición en valores singulares
Por revuelta que parezca una matriz, resulta ser solo tres movimientos limpios. Primero gira una vez (Vᵀ), luego estira por separado a lo largo de dos ejes (Σ) y después gira una vez más (U). Mete en esta matriz el círculo unitario entero y sale una elipse bien formada. Las longitudes de los semiejes de esa elipse son exactamente los valores singulares. Y el mayor de ellos se encarga casi por completo de la forma de la elipse. La compresión de imágenes y el PCA se apoyan en este único hecho. En la primera figura recorres las etapas una a una y sigues cómo el círculo se convierte en una elipse.
Avanza por las etapas una a una con los botones. La etapa 0 es solo el círculo unitario, con los vectores singulares derechos v1, v2 marcados encima. La etapa 1, Vᵀ, gira el círculo, pero un círculo sigue siendo un círculo, así que su forma no cambia. A cambio, v1, v2 van a colocarse exactamente sobre los ejes x, y. La etapa 2, Σ, estira por separado solo a lo largo de esos dos ejes y forma una elipse recta de σ1 en el eje x y σ2 en el eje y. La etapa 3, U, vuelve a girar esa elipse hasta la elipse final inclinada: la imagen del círculo unitario bajo la matriz. Los dos semiejes de esa elipse son σ1·u1 y σ2·u2. Girar, estirar, girar: estos tres movimientos producen cualquier matriz.
Esta vez quita todo giro y deja solo el estiramiento (U = V = I). Los deslizadores σ1 y σ2 fijan cuánto se estira el círculo unitario punteado a lo largo del eje horizontal y del vertical, y los dos valores son exactamente las longitudes de los semiejes de la elipse dorada. Un valor singular es, al final, cuántas veces se estira ese eje. Sube σ1 y la elipse se ensancha; baja σ2 y se aplana en vertical. Lleva uno de los deslizadores cerca de 0 y la elipse se aplasta del todo a lo largo de ese eje hasta quedar en un solo segmento. En ese momento el rango de la matriz cae de 2 a 1, la elipse se pone roja y aparece un aviso.
Ahora toma en la mano las tres piezas. Fija con los deslizadores el primer ángulo de giro (V), los dos factores de estiramiento (σ1, σ2) y el último ángulo de giro (U), y juntos forman A = U Σ Vᵀ. El escenario dibuja a la vez cómo se deforma la cuadrícula y a qué elipse dorada va el círculo unitario, mientras el panel de abajo muestra las cuatro entradas de esa matriz. Gira los ángulos y los factores de un lado a otro y verás que, por arbitrarias que parezcan las entradas de la matriz, siempre salen de dos giros limpios y un estiramiento a lo largo de los ejes. Ninguna matriz 2×2 escapa a esta descomposición: giro → estiramiento por ejes → giro.
Esta descomposición tiene dos juegos de direcciones: v1, v2 a la entrada (los vectores singulares derechos) y u1, u2 a la salida (los vectores singulares izquierdos). Elige una pareja con el interruptor. Mete v1 en la matriz y sale exactamente σ1·u1; mete v2 y sale σ2·u2. Es decir, una dirección de entrada se convierte en una dirección de salida, con su longitud multiplicada por el valor singular. La flecha azul sobre el círculo unitario punteado es la entrada v, la flecha sobre la elipse dorada es su salida, y una línea punteada tenue las une. Entran direcciones V, salen direcciones U, y los valores singulares fijan el tamaño. Esa es la SVD en una línea.
Por último, comprueba si la forma de la elipse cabe de verdad casi entera en un solo valor singular grande. «Rango 2» en el interruptor es la A completa, la elipse inclinada entera. Pasa a «Rango 1» y solo queda la pieza σ1·u1·v1ᵀ: la elipse se posa del todo sobre su eje más largo y se convierte en un segmento de longitud σ1. Se ha desechado la pequeña pieza σ2. Abajo aparece como porcentaje la fracción de energía que recoge la pieza grande, σ1²/(σ1²+σ2²). Normalmente, esta sola pieza conserva la mayor parte de la forma. Quedarse solo con el mayor valor singular conserva casi toda la forma: esa es la idea clave de la compresión y del PCA.