Una serie se desmorona a lo lejos
Una serie de potencias suma infinitos poderes de x, como 1 + x + x² + x³ + .... ¿Cómo puede sumar infinitos términos dar un valor finito? El secreto está en la distancia. Dentro de un radio R del centro los términos encogen lo bastante rápido para que la suma se reúna en un valor (converge). Pero sal fuera de R y los términos crecen, así que la suma se infla sin fin y estalla (diverge). Esa distancia frontera R se llama radio de convergencia. El ejemplo más limpio es la serie geométrica 1 + x + x² + ... = 1/(1-x), donde R=1. Justo en la frontera, x=±R, hay un punto delicado que debes revisar por separado. En esta lección palparás con tus propias manos cómo la suma parcial se ciñe por dentro y salta por fuera, cómo el criterio de la razón fija R, y cuán sutil es de verdad la frontera.
El dorado es la suma parcial SN(x) = 1 + x + ... + xN, el gris es el límite real 1/(1-x). Sube el número de términos N. Dentro del intervalo (-1, 1), cuanto mayor es N más ceñido se pega el dorado al gris. Pero en el lado |x|>1 es lo opuesto: un N mayor hace que el dorado salte arriba y abajo cada vez más bruscamente, huyendo del gris. Eso es divergencia. Mueve también el punto x. Cuando el punto cae dentro de la banda, S converge a 1/(1-x); fuera, marca diverge. Esta sola imagen guarda todo el corazón de la lección: una serie vive o muere según la distancia.
¿Cómo hallas el radio? El criterio de la razón es la respuesta. Mira la razón de tamaño de dos términos sucesivos, |término siguiente / término actual|. Para Σ xⁿ esta razón es siempre |x|, una constante. Las barras son los tamaños de los términos |x|ⁿ. Desliza x. Cuando |x|<1 la razón está por debajo de 1, así que las barras encogen una tras otra (verde, converge); cuando |x|>1 las barras crecen cada vez más (rojo, diverge). El punto donde la razón vale exactamente 1, es decir |x|=1, es justo la frontera entre convergencia y divergencia, el radio mismo. El criterio calla en esa frontera, que los dos bloques siguientes tratan aparte.
Ahora agarra el radio directamente en una recta numérica. La serie Σ(x/a)ⁿ tiene radio de convergencia R=a. La banda dorada alrededor del centro 0 es el intervalo de convergencia (-R, R). Empuja el control del radio hacia arriba y la banda se ensancha; bájalo y se estrecha. Mueve el punto x. Cuando cae dentro de la banda se pone verde (|x|<R, converge); cuando cruza afuera, se pone rojo (diverge). La convergencia se reduce a una línea simple: ¿está la distancia |x| más cerca que el radio R? Como solo importa el valor absoluto, sea x positivo o negativo, la región de convergencia es siempre un intervalo simétrico respecto del centro.
Aun con el mismo radio, el destino en la frontera difiere caso por caso. Elige entre tres series. Todas tienen radio 1, pero se comportan distinto en la frontera x=±1. Σxⁿ diverge en ambos extremos. Σxⁿ/n converge en x=-1, donde los términos alternan y se cancelan en parte, pero en x=+1 se vuelve la serie armónica y diverge. Σxⁿ/n² encoge sus términos lo bastante rápido para converger en ambos extremos. Las barras trazan cómo derivan las sumas parciales. Si se asientan en un valor, converge; si siguen derivando u oscilan, diverge. La frontera es donde el criterio de la razón se rinde, así que cada serie debe examinarse por su cuenta de este modo.
Por último, vuelve a la serie geométrica ancla. 1 + x + x² + ... = 1/(1-x), pero solo cuando |x|<1. Cada barra es un término xⁿ, apilándose desde arriba, y el total se reúne hacia la línea verde discontinua, es decir 1/(1-x). Pon la razón x en un valor positivo como 0.6 y las barras se acortan de manera sostenida del mismo lado, asentándose en un valor. Pon x negativo y las barras alternan a izquierda y derecha de la línea base, cancelándose en parte, pero como |x|<1 acaban reuniéndose en un valor. Lo que muestra esta imagen es la esencia de una serie de potencias: solo cuando los términos encogen lo bastante rápido, es decir, cuando la distancia está dentro del radio, una suma infinita se vuelve finita.