Radio de convergencia
Una serie de potencias suma potencias de x sin fin. Se escribe 1 + x + x² + x³ + .... Una suma infinita puede seguir siendo un número finito, y la razón es la distancia. Dentro de un radio R desde el centro los términos se encogen y la suma se asienta en un valor. Sal de R y los términos crecen, así que la suma se hincha sin fin. Esa distancia frontera R es el radio de convergencia. El ejemplo más limpio es la serie geométrica 1 + x + x² + ... = 1/(1-x), y aquí R=1. Los puntos de la frontera x=±R hay que revisarlos aparte. Las figuras de abajo muestran las sumas parciales pegándose al límite por dentro y saltando por fuera, cómo el criterio de la razón fija R, y por qué la frontera es delicada.
El dorado es la suma parcial SN(x) = 1 + x + ... + xN, y el gris es el límite verdadero 1/(1-x). Sube el número de términos N. En el intervalo (-1, 1), a medida que N crece el dorado se ciñe al gris. En el lado |x|>1 ocurre lo contrario. Al subir N el dorado salta más empinado arriba y abajo y se aleja del gris. También puedes mover el punto de observación x. Dentro de la banda, S converge a 1/(1-x). Fuera, la lectura dice que diverge. Que la serie viva o muera con la distancia está entero en esta figura.
El radio sale del criterio de la razón. Mira el cociente de tamaños de dos términos seguidos, el siguiente dividido por el actual. Para Σ xⁿ ese cociente es constantemente |x|. Las barras son los tamaños de los términos |x|ⁿ. Mueve el deslizador de x y aparece la diferencia. Cuando |x|<1 el cociente es menor que 1, las barras se encogen por turno y el color es verde, convergencia. Cuando |x|>1 las barras crecen y el color es rojo, divergencia. El cociente igual a exactamente 1, que es |x|=1, es la frontera entre convergencia y divergencia, el radio mismo. En esa frontera las barras son doradas, y el criterio de la razón no dice más. Lo que ocurre ahí sigue en las dos figuras siguientes.
Ahora fija el radio directamente sobre la recta numérica. Para la serie Σ(x/a)ⁿ el radio de convergencia es R=a. La banda dorada alrededor del centro 0 es el intervalo de convergencia (-R, R). Sube R con el deslizador y la banda se ensancha. Bájalo y se estrecha. Mueve el punto x. Dentro de la banda el punto es verde (|x|<R, converge). Fuera de la banda se vuelve rojo y diverge. La convergencia es la condición de una línea de que la distancia |x| sea más cercana que el radio R. Solo cuenta el valor absoluto, así que la región es siempre un intervalo simétrico respecto al centro. Un punto sentado en el borde es la frontera, ni dentro ni fuera.
Radios iguales pueden tener destinos distintos en la frontera. Puedes elegir entre tres series. Las tres tienen radio 1, y aun así se portan distinto en la frontera x=±1. Σxⁿ diverge en los dos extremos. Σxⁿ/n converge en x=-1, donde los términos alternan, pero en x=+1 se vuelve la serie armónica y diverge. Σxⁿ/n² se encoge más rápido, así que converge en los dos extremos. El panel izquierdo y el derecho son esos dos extremos, y las barras son las sumas parciales en marcha. Cuando se asientan, el panel es verde, convergencia. Cuando derivan o saltan sin fin, es rojo, divergencia. La frontera es donde el criterio de la razón suelta, así que cada serie se lee por su cuenta.
Por último, vuelve a la serie geométrica que sirve de ancla. 1 + x + x² + ... = 1/(1-x), pero solo cuando |x|<1. Cada barra es un término xⁿ. Se apilan desde arriba, y la suma se reúne hacia la línea verde punteada en 1/(1-x). Pon la razón x en un valor positivo como 0.6 y las barras doradas se acortan del mismo lado y se asientan. Haz x negativo y las barras se alternan a los lados de la línea base, los términos negativos en azul, cancelándose, y aun así, porque |x|<1, se reúnen en un valor. La suma infinita es finita solo cuando los términos se encogen bastante rápido, es decir, cuando la distancia se queda dentro del radio. La línea verde punteada es el lugar de la suma, y la serie se ha vuelto finita cuando las barras se han apilado hasta esa línea.