La cuadratura mide el área en franjas
Una integral definida es el área bajo una curva. Pero incontables funciones no tienen una antiderivada en forma cerrada que puedas integrar a mano, y a menudo solo tienes puntos muestreados, como datos de experimento, sin fórmula alguna. ¿Entonces cómo hallas el área? La idea es tan simple como el área de la escuela primaria: corta el intervalo [a,b] en franjas verticales finas, aproxima el área de cada franja con una figura sencilla y súmalas. Rellenar con rectángulos es burdo; cortar el borde superior en diagonal formando trapecios es mejor; emparejar franjas y ajustar una parábola es mucho más preciso. Cuanto más finas las franjas (mayor n), más te acercas a la verdad, pero la velocidad de acercamiento difiere entre reglas. En esta lección fijamos una integral cuyo valor exacto se conoce (f=1+sin x, respuesta π+2) y comparamos, con la vista, cuán distinto rinden tres reglas con el mismo esfuerzo.
La curva gris es f(x)=1+sin x, y el área que buscamos está debajo de ella entre 0 y π. El valor exacto es precisamente π+2≈5.1416, así que podemos medir el error de verdad. Las barras doradas son rectángulos que cortan el intervalo en n franjas. Usa el selector de arriba para elegir dónde se lee la altura de cada barra: extremo izquierdo, derecho o punto medio. Sube el control de n y las barras se afinan mientras la estimación se acerca a la verdad. Izquierda y derecha se inclinan a un lado, pero el punto medio deja que los excesos y defectos se cancelen, así que suele ser el más preciso.
Misma integral, mismo valor real π+2. Esta vez, en lugar de dejar plana la parte superior de la barra, unimos los dos extremos con una recta y llenamos cada franja con un trapecio. Un rectángulo deja un triángulo vacío entre la curva y la barra, pero el trapecio sigue esa parte inclinada con una línea y reduce mucho el hueco. Mueve el control de n y confirma que el error es menor que en el bloque 1 al mismo n. El error del trapecio es proporcional a h², así que duplicar n baja el error a cerca de un cuarto. Frente a la mitad del rectángulo, es una convergencia un orden entero más rápida.
El trapecio aproximó la curva con rectas. ¿Y si aproximamos una curva con una curva? La regla de Simpson empareja los intervalos de dos en dos y ajusta una parábola que pasa exactamente por esos tres puntos, capturando justo la curvatura que las rectas pierden. La línea de puntos es la curva real, y el dorado casi encima de ella es el ajuste parabólico. Recorre n por valores pares y observa el número del error encogerse dígitos enteros por debajo del trapecio. El error de Simpson es proporcional a h⁴, así que duplicar n baja el error a un asombroso dieciseisavo. Para el mismo número de franjas, la precisión mejora de forma explosiva.
Ahora una sola imagen revela la verdadera naturaleza de las tres reglas. El eje vertical es log10(error), el horizontal es el número de franjas n. Elige una regla y barre n, y se dibuja una curva de error descendente. La clave es la pendiente de la caída: ese es el orden de precisión p, con una estimación en la lectura. El rectángulo desciende suave (p≈1), el trapecio más empinado (p≈2), Simpson como un acantilado (p≈4). Cuanto más empinada la curva, más recorta el error un mismo aumento de n. Eso sí, Simpson deja de descender al tocar el suelo de la precisión de máquina.
Por último alineamos las tres y las comparamos cara a cara en las mismas condiciones. Las tres barras son los errores de punto medio, trapecio y Simpson usando el mismo n, exactamente el mismo trabajo. La escala vertical es logarítmica, así que el largo de una barra es el número de dígitos del error. Mueve n: las tres se acortan, pero la barra de Simpson aplasta a las otras dos por mucho. El mensaje es claro. Para el mismo esfuerzo invertido, qué fórmula elijas separa la precisión por órdenes de magnitud. La lección central del análisis numérico no es subir n a ciegas sino elegir una regla más inteligente.