Integración numérica
Una integral definida es el área bajo una curva. Muchas funciones no tienen una antiderivada que se pueda escribir a mano. A veces, como en unos datos de experimento, solo hay puntos y no hay fórmula. La idea es simple. Corta el intervalo [a,b] en trozos verticales finos y estima cada trozo con una figura fácil, y luego súmalos. Los rectángulos son toscos, los trapecios con la tapa inclinada son mejores, y emparejar dos paneles en una parábola es mucho más exacto. Cuanto más finos los trozos, es decir cuanto mayor es n, más te acercas al valor verdadero, y la velocidad de ese acercamiento depende de la regla. Toma una integral cuya respuesta se conoce, f=1+sin x, con valor π+2, y las figuras comparan cuánto difieren las tres reglas con el mismo esfuerzo. Las barras doradas son esos trozos y la curva gris es la función que se integra. El error escrito bajo cada figura es el valor verdadero menos la estimación, y toda la lección compara las tres reglas con el mismo número de trozos.
La curva gris es f(x)=1+sin x, y el área que buscamos está bajo ella en [0,π]. El valor verdadero es exactamente π+2≈5.1416, así que el error se puede medir de verdad. Las barras doradas son los rectángulos que cortan el intervalo en n trozos. Los botones de arriba eligen si la altura de la barra es el extremo izquierdo, el derecho o el punto medio. Sube el deslizador de n y las barras se afinan y la estimación se acerca al valor verdadero. Los extremos izquierdo y derecho se inclinan a un lado, mientras el punto medio cancela errores por encima y por debajo y suele ser el más exacto.
La misma integral, y el mismo valor verdadero π+2. Esta vez la tapa de cada barra no es plana. Los dos extremos se unen con una recta y el trozo es un trapecio. Un rectángulo deja un triángulo vacío entre la curva y la barra, mientras un trapecio sigue esa pendiente con una línea y reduce el hueco. Mueve el deslizador de n y, con el mismo n, el error es menor que la estimación de orden 1 de la figura anterior. El error del trapecio es proporcional a h², así que doblar n baja el error a cerca de 1/4. Comparado con un rectángulo, que lo baja a 1/2, es un orden de convergencia más rápido.
Un trapecio estimó la curva con una recta. ¿Y si la curva se estima con una curva? La regla de Simpson agrupa el intervalo de dos paneles en dos paneles y ajusta una parábola por esos tres puntos. Atrapa la curvatura que una recta deja pasar. La línea punteada es la curva verdadera, y el dorado casi encima de ella es la parábola. Mueve n por valores pares y el error es menor que el del trapecio en cifras enteras. El error de Simpson es proporcional a h⁴, así que doblar n baja el error a 1/16. El mismo número de trozos compra una ganancia grande de precisión.
Una figura reúne lo que de verdad son las tres reglas. El eje vertical es log10 del error, y el horizontal es el número de trozos n. Elige una regla y barre n, y se dibuja una curva del error que cae. La pendiente de esa caída es el orden de exactitud p, y la lectura muestra la estimación. Los rectángulos caen con suavidad (p≈1), los trapecios caen más empinados (p≈2) y Simpson cae como un acantilado (p≈4). Cuanto más empinada la curva, más corta el error el mismo aumento de n. Cuando Simpson llega al número más pequeño que la máquina distingue, deja de caer.
Por último, las tres quedan lado a lado en las mismas condiciones. Las tres barras son los errores del punto medio, del trapecio y de Simpson con el mismo n, es decir el mismo trabajo. La escala vertical es logarítmica, así que la longitud de una barra es el número de cifras del error. Mueve n y las tres se acortan, pero la barra de Simpson aplasta a las otras dos. El mismo esfuerzo, y la elección de la fórmula parte la exactitud por cifras. Lo que importa no es subir n sin pensarlo. Es elegir una regla mejor. Poner las tres reglas lado a lado con un mismo número de trozos es la comparación para la que está hecha esta lección. La longitud de cada barra, en la escala logarítmica, dice cuántas cifras separan la estimación del valor verdadero.