Los grandes teoremas viven en 3D
En L6 viste los teoremas de Gauss y Stokes como círculos en un plano plano. Pero eso era una sombra aplanada de lo real. El verdadero escenario son tres dimensiones. El teorema de la divergencia trata de una esfera en el espacio, no de un círculo en un plano, y su frontera es una superficie, no un borde. El teorema de Stokes vale a través de cualquier superficie con que tapes un lazo, no solo un disco plano. En esta lección giras la vista con tu propio dedo para ver, en forma sólida, cómo una normal se levanta sobre una superficie, cómo el flujo atraviesa una hoja y cómo la suma de adentro resulta igual a la frontera. Las dos líneas que memorizaste en el plano vuelven a la vida sobre volúmenes y superficies.
Primero ve, en forma sólida, qué es siquiera una superficie. Flotando en la pantalla hay una hoja en silla de montar, z = 0.4(x² − y²): sube por un lado y baja por el lado perpendicular, como la silla de un caballo. Arrastra la pantalla con tu dedo para girarla. Lo que parecía una imagen plana resulta ser una hoja bidimensional colgada en el espacio. En un punto de la superficie una flecha normal n̂ se levanta recta, en la dirección exactamente perpendicular a la hoja ahí mismo. Dobla más la silla con el deslizador y la normal se inclina con ella. Una superficie es una hoja, y puedes levantar una normal en cualquier lugar de ella: ahí empiezan las integrales de superficie.
Ahora coloca esa superficie en un flujo. Hay un campo que corre uniforme hacia arriba, F = [0, 0, 1.4], y una hoja cuadrada plana flotando en ese flujo, cubierta de flechas normales hacia afuera. El flujo de superficie ∫∫ F·n̂ dS es la cantidad total de flujo que sale a través de esta hoja: en cada parchecito tomas F·n̂ por el área del parche y los sumas todos. Mueve el deslizador de inclinación para volver la hoja de cara al flujo, luego ponla de canto. De frente al flujo, el flujo es máximo; de costado, paralela al flujo, cae a casi cero. Arrastra para girar la vista y el ángulo entre la normal y el flujo se ve en forma sólida. El flujo es, al final, cuánto encara la superficie al flujo.
Ahora el verdadero escenario del teorema de la divergencia. El círculo de L6 era en realidad la sombra de una esfera. El campo es F = [x, y, z], un flujo que corre hacia afuera desde el origen en todas direcciones, con divergencia ∇·F = 3 en todas partes. Una esfera translúcida flota en la pantalla, rodeada de flechas normales hacia afuera en su superficie. Agranda y achica la esfera con el deslizador del radio. Dos números acompañan. Frontera es el flujo total que escapa por la superficie de la esfera, ∮∮ F·n̂ dS; interior es la integral de volumen que suma toda la divergencia en la bola, ∭ ∇·F dV. En cualquier radio los dos coinciden casi exactamente, porque ambos valen 4πR³. Arrastra para girar la vista y hasta las flechas del lado lejano aparecen. Es el mismo teorema que el del plano, con el borde elevado a superficie y el área elevada a volumen, una dimensión más arriba.
El teorema de Stokes muestra su verdadero poder en 3D. El campo es F = [−y, x, 0], un vórtice que gira en sentido antihorario en el plano, con rotacional ∇×F = (0, 0, 2). En la pantalla un lazo circular cerrado se asienta en el plano z=0, con flechas tangentes corriendo por el borde. Pulsa el interruptor. Cambia la superficie de tapa que estiras sobre este lazo entre un disco plano y una cúpula que se abomba hacia arriba (una hemisfera). Este es el punto: las dos tienen formas completamente distintas, y sin embargo comparten el mismo lazo como frontera. Frontera es la circulación alrededor del lazo, ∮ F·dr; superficie es el flujo del rotacional a través de la tapa, ∫∫ (∇×F)·n̂ dS; las dos coinciden casi exactamente, y hagas la tapa un disco o una cúpula ese valor sigue igual. Agranda el lazo con el deslizador del radio y arrastra para girar la vista. La circulación queda fijada solo por la frontera, y el rotacional suma lo mismo a través de cualquier superficie que selle esa frontera.
Por último, superpón 2D y 3D en una pantalla. El interruptor pasa entre dos modos. Enciende 3D y una esfera rodeada de normales hacia afuera (Gauss) o un lazo con una tapa (Stokes) flota en forma sólida. Enciende 2D y se aplana hacia la mismísima imagen que viste en L6: un círculo en el plano rodeado de flechas hacia afuera para Gauss, o con flechas tangentes corriendo a su alrededor para Stokes. Un interruptor interior también cambia entre Gauss y Stokes. Arrastra para girar la vista y mira cómo la esfera y el lazo sólidos se vuelcan de costado y se desploman en la imagen plana. Los teoremas 2D de L6 no estaban mal; eran este teorema 3D visto como una sombra, mirando hacia abajo por el eje z. Las dos líneas ∮∮ F·n̂ dS = ∭ ∇·F dV y ∮ F·dr = ∫∫ (∇×F)·n̂ dS cierran todo el cálculo vectorial.