Integrales de superficie
Has visto los teoremas de Gauss y de Stokes en un círculo del plano. Eso era una sombra plana de la forma real, y el escenario real son 3 dimensiones. El teorema de la divergencia no es un círculo del plano sino una esfera en el espacio, y la frontera no es un borde sino una superficie. El teorema de Stokes no es un disco del plano. Vale para cualquier superficie que tapes sobre el mismo lazo. Gira la pantalla con un dedo y mira, en el sólido, cómo se planta una normal sobre una superficie, cómo el flujo atraviesa una cara y cómo la suma de dentro llega a igualar la frontera. Las dos líneas memorizadas en el plano vuelven a vivir sobre un volumen y una superficie. Los lugares altos van pintados de dorado y los bajos de azul, y esa superficie es la primera cara de este escenario.
Primero mira qué es una superficie, en el sólido. Una lámina en silla z = 0.4(x² − y²) flota en la pantalla, una superficie como una silla que sube en una dirección y baja en la perpendicular. Arrastra la pantalla con un dedo para girarla y lo que parecía un dibujo plano es de verdad una lámina de 2 dimensiones flotando en el espacio. Los lugares altos van pintados de dorado y los bajos de azul. En un punto de la superficie se planta una flecha normal n̂. En cada punto es la dirección exactamente perpendicular a la lámina ahí. Dobla más la silla con el deslizador y la normal se inclina con ella. Una superficie es una cara, y puedes plantar una normal en cualquier sitio de ella. Ese es el comienzo de una integral de superficie.
Ahora pon esa superficie en un flujo. Hay un campo F = [0, 0, 1.4] que fluye parejo hacia arriba, y una lámina rectangular plana flota en ese flujo. La lámina va pintada de verde, las flechas del flujo son azules y las normales hacia fuera sobre la lámina son doradas. El flujo de superficie ∫∫ F·n̂ dS es el flujo total que sale a través de esta lámina. Es la suma, sobre cada trozo pequeño de la cara, de F·n̂ por el área de ese trozo. Inclina la lámina con el deslizador, de mirar de frente al flujo a ponerse de canto, y aparece la diferencia. De frente al flujo el flujo es el mayor, y de canto a lo largo del flujo cae a casi 0. Arrastra la pantalla para girarla y el ángulo entre la normal y el flujo se ve en el sólido. El flujo es, al final, cuánto de frente mira la cara al flujo.
Ahora el escenario real del teorema de la divergencia. El círculo del plano era de verdad la sombra de una esfera. El campo es F = [x, y, z], un flujo que se extiende desde el origen en todas direcciones, y la divergencia es ∇·F = 3 en todas partes. Una esfera dorada translúcida flota en la pantalla, y flechas normales doradas hacia fuera rodean su superficie. Agranda y encoge la esfera con el deslizador del radio y los dos números siguen juntos. Frontera = el flujo total que se escapa por la superficie de la esfera ∮∮ F·n̂ dS, interior = la integral de volumen de la divergencia por la bola ∭ ∇·F dV. El número de la frontera es dorado, el del interior es azul, y cuando coinciden aparece un casi acuerdo en verde. En todo radio los dos casi coinciden, porque ambos son 4πR³. Arrastra la pantalla para girarla y ves también las flechas más allá de la esfera. El mismo teorema, subido una dimensión, de un borde en el plano a una superficie, y de un área a un volumen.
El teorema de Stokes muestra su fuerza real en 3D. El campo es F = [−y, x, 0], un giro que da vueltas en sentido antihorario en el plano, y el rotacional es ∇×F = (0, 0, 2). En la pantalla hay un lazo circular cerrado en el plano z=0. El lazo mismo es azul, y las flechas tangentes que corren alrededor son doradas. Pulsa un botón y la superficie tapa de este lazo cambia entre un disco plano y una cúpula levantada. La tapa va pintada de dorado. Lo importante es que las dos formas no se parecen en nada y aun así comparten el mismo lazo como frontera. Frontera = la circulación alrededor del lazo ∮ F·dr, superficie = el flujo del rotacional a través de la tapa ∫∫ (∇×F)·n̂ dS, y los dos casi coinciden, y el valor se queda igual cambies la tapa a un disco o a una cúpula. El número de la frontera es dorado, el de la superficie es azul, y el verde aparece cuando coinciden. Agranda el lazo con el deslizador del radio y arrastra la pantalla para girarla, y eso se confirma. La circulación queda fijada solo por la frontera, y la suma del rotacional es la misma a través de cualquier superficie que cierre esa frontera.
Por último, pon 2D y 3D en una pantalla. Los botones pasan entre los dos modos. Enciende 3D y una esfera rodeada de normales hacia fuera, o un lazo con tapa, flota en el sólido. La superficie de Gauss es dorada y la tapa de Stokes es azul. Enciende 2D y eso se aplana en el mismo dibujo visto en el plano. Gauss, un círculo en el plano rodeado de flechas hacia fuera, o Stokes, con flechas tangentes dando vueltas. Otro botón cambia también Gauss y Stokes. Arrastra la pantalla para girarla y la esfera y el lazo que eran sólidos se tumban de lado y ves cómo se derrumban en el dibujo del plano. El teorema 2D del plano no estaba mal. Era la sombra de este teorema 3D mirada desde arriba. ∮∮ F·n̂ dS = ∭ ∇·F dV y ∮ F·dr = ∫∫ (∇×F)·n̂ dS, dos líneas que cierran todo el cálculo vectorial.