Interpolación
Lo que llega a nuestras manos es siempre un puñado de puntos sueltos. Una temperatura que un sensor lee cada 1 segundo, unos valores escritos en una tabla, unos fotogramas clave de una animación. Cuando quieres los huecos, levantas una función suave que pasa por los puntos y rellenas los blancos. Eso es la interpolación. A diferencia de imitar una curva desde la derivada en un punto, la interpolación construye una curva desde las posiciones de muchos puntos. N puntos fijan un polinomio de grado N-1, y ningún otro. Pero si añades puntos sin pensar, la curva puede desbocarse. Esa trampa es el fenómeno de Runge. Así que en la práctica colocas los puntos con cabeza, o unes trozos de grado bajo, un spline. La interpolación es el suelo de los gráficos, la animación, el análisis de datos y la integración numérica.
Arrastra las alturas de los puntos y por mucho que los muevas sigue una curva dorada, que pasa por los cinco puntos exactamente. Ese es el polinomio de interpolación. Dos puntos son una recta de grado 1, tres puntos son una parábola de grado 2, y cinco puntos son una curva de grado 4. N puntos fijan un polinomio de grado N-1, ni más ni menos. Hay incontables curvas que unen los puntos, pero en cuanto exiges un polinomio de grado N-1 la respuesta queda clavada en exactamente una. Ahí empieza la interpolación.
¿Cómo escribes ese polinomio único? El modo de Lagrange es elegante. Para cada nodo construyes una función base, un polinomio diseñado para valer 1 en su propio nodo y 0 en todos los demás. La base elegida se dibuja en dorado, y el punto de su propio nodo es dorado también. Pulsa un botón y puedes encender las bases de una en una. Entonces el polinomio de interpolación es solo la suma ponderada de estas bases por las alturas. P(x) = Σ yᵢ Lᵢ(x). Mete un nodo xk y solo Lk es 1 y el resto son 0, así que P(xk) = yk. Pasar por cada punto exactamente queda garantizado de balde. No hay un sistema de ecuaciones que resolver.
Podrías pensar que más puntos significa más exactitud, pero hay una trampa. Interpola la función de Runge en forma de campana con puntos igualmente espaciados. El gris es la función verdadera y el dorado es la curva de interpolación. Al añadir puntos el centro mejora, mientras que en los dos extremos la curva se sacude arriba y abajo. Alrededor del grado 15 el error en los extremos crece varias veces más que la función misma, y el texto del error se vuelve rojo. Ese es el fenómeno de Runge. Un polinomio de grado alto quiere doblarse libre entre los nodos, así que cuanto más denso plantes los puntos más grande se sacude entre ellos. La lección es clara. En interpolación, subir el grado sin pensar no es la respuesta.
Entonces, ¿cuál es la respuesta? Sorprende que dejas el método de interpolación como está y solo cambias dónde pones los puntos. Cambia del espaciado igual a una colocación de Chebyshev, que reúne los puntos más densos hacia los dos extremos. Cuando el espaciado es igual la curva es dorada, y cuando es de Chebyshev la curva es verde. Mismo número, misma interpolación de Lagrange, y el estallido de los extremos se calma como si hubiera sido mentira. La intuición es esta. El polinomio quiere sacudirse en los extremos, así que plantas más puntos en los extremos y aplastas esa sacudida de antemano. Por eso Chebyshev es el estándar en el diseño de espejos de telescopio y en aproximar funciones. El problema no era la interpolación. Era la colocación de los puntos.
A menudo no puedes elegir dónde se sientan los puntos. Tienes que usarlos como vienen. Entonces cambias la estrategia del todo. En vez de cubrir toda la curva con un polinomio de grado alto, unes trozos bajos de grado 3 de forma suave, cada trozo mirando solo dos puntos vecinos. Ese es un spline cúbico, de grado 3. Añade puntos y el polinomio dorado se sacude en los extremos mientras el spline azul se pega al valor verdadero. Como un trozo no siente un punto lejano, una sacudida en un sitio no se extiende a toda la curva. Las curvas de un tipo de letra, la carrocería de un coche en diseño (CAD) y las rutas de animación son todas splines. La interpolación es más que unir puntos. Es elegir cómo unirlos.