La interpolación enhebra una curva por los puntos
Lo que de verdad obtenemos son siempre puntos dispersos: una temperatura medida cada segundo, un puñado de valores en una tabla, unos pocos fotogramas clave de una animación. Cuando te importa lo que pasa entremedio, la interpolación rellena los huecos levantando una función suave que pasa por los puntos. Donde Taylor imitaba una curva con la información de la derivada en un punto, la interpolación construye una curva con la información de posición de muchos puntos. N puntos fijan un único polinomio de grado N-1. Pero amontonar puntos sin más tiene una trampa, donde la curva se vuelve loca (el fenómeno de Runge). Por eso en la práctica colocas los puntos con astucia, o coses piezas de bajo grado como un spline. La interpolación sustenta los gráficos, la animación, el análisis de datos y la integración numérica.
Arrastra la altura de los puntos. Como sea que los muevas, una curva suave los sigue pasando exactamente por los cinco. Este es el polinomio interpolante. Dos puntos dan una recta (grado 1), tres dan una parábola (grado 2), cinco dan una cuártica. N puntos fijan un único polinomio de grado N-1, ni más ni menos. Infinitas curvas conectan los puntos, pero al añadir la condición "polinomio de grado N-1" la respuesta queda clavada en una sola. Ahí empieza la interpolación.
¿Cómo escribes ese polinomio único? El método de Lagrange es elegante. Para cada nodo construyes una función base Lᵢ, un polinomio diseñado para valer 1 en su propio nodo y 0 en todos los demás. Pulsa los segmentos para inspeccionarlas una a una. Entonces el polinomio interpolante es simplemente esas bases ponderadas por las alturas yᵢ: P(x) = Σ yᵢ Lᵢ(x). Sustituye cualquier nodo xk y solo Lk vale 1 mientras el resto es 0, así que P(xk) = yk. Pasar exactamente por cada punto queda garantizado gratis, sin ningún sistema de ecuaciones que resolver.
Es tentador pensar que más puntos deben dar más precisión. Es una trampa. Interpola la función de Runge en forma de campana con puntos equiespaciados. Al añadir puntos el centro mejora, pero en los extremos la curva oscila salvajemente arriba y abajo. Hacia el grado 15 el error en los bordes es varias veces mayor que la propia función. Este es el fenómeno de Runge. Los polinomios de alto grado quieren doblarse libremente entre los nodos, así que cuanto más densos siembras los puntos, más violentamente oscila la curva entre ellos. La lección es clara: en interpolación, subir el grado sin más no es la respuesta.
¿Entonces cuál es la respuesta? Sorprendentemente, mantienes el método de interpolación y solo cambias dónde pones los puntos. Cambia del espaciado igual a la disposición de Chebyshev, que agrupa los puntos más densamente hacia los extremos. Mismo número, misma interpolación de Lagrange, y sin embargo el estallido de los bordes se calma como por magia. La intuición: como el polinomio quiere oscilar en los extremos, plantas más puntos ahí para sujetar esa oscilación de antemano. Por eso Chebyshev es el estándar de oro en el diseño de espejos de telescopio y en la aproximación de funciones. El problema nunca fue la interpolación sino la colocación de los puntos.
A menudo no puedes elegir dónde están los puntos y debes tomarlos como vienen. Entonces cambias de estrategia por completo. En vez de cubrir toda la curva con un polinomio de alto grado, coses piezas de bajo grado (cúbicas) que miran solo dos puntos vecinos, unidas suavemente. Este es el spline cúbico. Añade puntos y el polinomio dorado oscila en los extremos mientras el spline azul se ciñe a la verdad. Como cada pieza no se ve afectada por puntos lejanos (localidad), una ondulación en un sitio no se propaga al conjunto. Las curvas de una tipografía, el diseño de carrocerías (CAD) y las trayectorias de animación son todas splines. Interpolar es más que conectar puntos; es elegir cómo conectarlos.