Laplaciano

Arrastra la sonda sobre el campo y un anillo pequeño de seis muestras vecinas aparece en ese sitio. Abajo se ven tres números: el valor del centro, el promedio de los seis vecinos, y ∇²f, proporcional a su diferencia. En la cima de arriba a la derecha el promedio de los vecinos es menor que el centro, así que ∇²f se vuelve negativo y la cima es azul. En el hueco de abajo a la izquierda el promedio de los vecinos es mayor, así que ∇²f se vuelve positivo y el hueco es dorado. Este es el sitio para comprobar a mano que el laplaciano es un número de cuánto te apartas del promedio de los vecinos. Desliza el anillo despacio entre la cima y el hueco y la brecha que era negativa cruza a positiva a lo largo de una cresta, y en esa cresta el valor del centro iguala el promedio de los vecinos.

En el mismo campo, mira por qué el laplaciano es la divergencia del gradiente. Arrastra la sonda y aparecen seis flechas de gradiente en el anillo. Cada flecha señala la subida más empinada de ese sitio. Sobre una cima las flechas se reúnen todas hacia la sonda, porque la subida apunta a la cima de dentro. Un flujo que se reúne hacia dentro tiene divergencia negativa, así que ∇·∇f < 0. Sobre un hueco las flechas se extienden todas hacia fuera y la divergencia es positiva, así que ∇·∇f > 0. La pantalla muestra ∇²f = ∇·(∇f) junto con el valor vivo. Las flechas son la divergencia aplicada una vez más al gradiente. Donde las flechas se reúnen en un sitio, ese punto está cediendo altura. Donde se extienden en todas direcciones, ese punto está tomando altura de alrededor.

Ahora mira el laplaciano de todo el campo en color, no un punto. El deslizador s cambia la altura de la cima de arriba a la derecha de 0.5 a 3, y el color de fondo es el mapa de ∇²f. El dorado es un hueco (∇²f > 0, por debajo del promedio) y el azul es una cima (∇²f < 0, por encima del promedio), y la cumbre de una cima y el fondo de un hueco son los más intensos. Sube s y la cima de arriba a la derecha se levanta, y la región azul de ahí se hace más profunda y más ancha. Baja s y esa cima se apaga, y el azul se aclara. El hueco de abajo a la izquierda se queda dorado haga lo que haga s. Un deslizador vuelve a pintar todo el mapa del laplaciano. Un color fuerte significa una brecha grande con los vecinos. Un lugar cercano al gris ya casi iguala a sus vecinos, así que queda poco por igualar.

Un campo cuyo laplaciano es 0 en todas partes se llama armónico (harmonic). Los botones alternan dos campos. Uno es h(x,y) = x·y, una silla. En cada punto es tan cóncavo a lo ancho como convexo de arriba abajo, así que los dos se cancelan y ∇²h = 0, y la lectura ∇² del centro se queda cerca de 0. El otro es b(x,y) = una cima gaussiana, un bulto de verdad, y ∇²b es un negativo claro en el centro. Un campo armónico no puede guardar una cima ni un hueco dentro. Cada punto iguala el promedio de sus vecinos, así que los lugares más altos y más bajos están siempre en la frontera. Esa es la regla del calor estacionario, del potencial y de una membrana. Así que si fijas solo la temperatura en el borde, el interior sigue. Si fijas solo el potencial en el borde, el interior vacío se llena solo.

Mira por qué el laplaciano es el motor de la difusión. La ecuación del calor es ∂f/∂t = ∇²f, lo que significa que en cada instante cada punto cambia en su laplaciano. Un hueco (∇²f > 0) sube y una cima (∇²f < 0) baja, así que todo lugar es atraído hacia el promedio de los vecinos. La rejilla empieza irregular, con dos cimas, y cada pulsación del botón de un paso mueve cada celda un paso hacia el promedio de los vecinos. No hay repetición automática. Se mueve solo cuando pulsas. Cuanto más pulsas, las cimas bajan, los valles se llenan y el color se iguala. Reiniciar vuelve al primer estado irregular. Contar los pasos muestra al laplaciano borrando diferencias, una etapa cada vez. Pulsa un buen rato y la irregularidad primera desaparece, y toda la rejilla queda de un solo color tranquilo.