El laplaciano mide la brecha respecto al promedio
Ponte en un punto y promedia los valores de sus vecinos inmediatos. Si ese promedio queda más alto que el valor donde estás parado, estás en una hondonada, ahuecado por debajo de tus vecinos. Si el promedio es más bajo, estás sobre un pico levantado. Esa brecha es justamente el laplaciano. Es la divergencia del gradiente (∇·∇f), es decir ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y², y al final es un solo número que mide cuánto te apartas del promedio de tus vecinos. Negativo en un pico, positivo en una hondonada. Esta sola cantidad rige cómo se difunde el calor, cómo se asienta una membrana tensada, incluso la regla por la cual un potencial eléctrico se acomoda. Es el operador que cierra el paquete de cálculo vectorial (gradiente, divergencia, rotacional) con una segunda derivada en un punto.
Arrastra la sonda sobre el campo. Donde la pongas, un pequeño anillo de seis puntos vecinos de muestra la envuelve. Abajo aparecen tres números: el valor del centro, el promedio de los seis vecinos, y el ∇²f proporcional a la brecha entre ambos. Ponla sobre el pico (arriba a la derecha) y el promedio vecino queda por debajo del centro, así ∇²f se vuelve negativo, un pico azul. Ponla sobre la hondonada (abajo a la izquierda) y el promedio vecino es más alto, así ∇²f se vuelve positivo, una hondonada dorada. Comprueba con tu propia mano que el laplaciano es, al final, un solo número: cuánto te apartas del promedio de tus vecinos.
Ahora, en el mismo campo, ve por qué el laplaciano es la divergencia del gradiente. Arrastra la sonda y seis flechas de gradiente aparecen en el anillo a su alrededor. Cada flecha apunta hacia la pendiente local más empinada. Sobre un pico las flechas convergen todas hacia la sonda, porque cuesta arriba apunta hacia adentro, al pico. Un flujo que se junta hacia adentro tiene divergencia negativa, así que ∇·∇f < 0. Sobre una hondonada las flechas alcanzan todas hacia afuera, así que la divergencia es positiva, ∇·∇f > 0. La pantalla muestra "∇²f = ∇·(∇f)" junto a su valor vivo. Ve con flechas que el laplaciano es la divergencia (lección 3) actuando una vez más sobre el gradiente (lección 2).
Ahora ve el laplaciano no en un punto sino por todo el campo, como color. El deslizador s cambia la altura del pico superior derecho de 0.5 a 3. El color de fondo es el mapa de ∇²f mismo. El dorado es una hondonada (∇²f > 0, por debajo del promedio), el azul un pico (∇²f < 0, por encima del promedio), y la cima del pico y el fondo de la hondonada brillan más fuerte. Sube s y el pico superior derecho se levanta, así su región azul se ahonda y ensancha. Baja s y ese pico amaina, así el azul se desvanece. La hondonada inferior izquierda permanece dorada sin importar s. Mira cómo un solo deslizador repinta el mapa entero del laplaciano.
Un campo cuyo laplaciano es cero en todas partes se llama armónico. Cambia entre dos campos con los botones. Uno es h(x,y) = x·y, una silla de montar. En cada punto es cóncavo en una dirección justo tanto como convexo en la otra, así que ambos se cancelan y ∇²h = 0. La lectura de ∇² para la muestra del centro marca casi cero. El otro es b(x,y), una joroba gaussiana, una colina genuinamente levantada, así que en el centro ∇²b es claramente negativo. Aquí está la clave: un campo armónico no puede albergar ningún pico ni hondonada interior. Como cada punto iguala el promedio de sus vecinos, el lugar más alto o más bajo está siempre solo en la frontera. Esta es la regla profunda detrás del calor en estado estacionario, el potencial eléctrico y una membrana tensada.
Ve por qué el laplaciano es el motor de la difusión. La ecuación del calor es ∂f/∂t = ∇²f. Dice que el valor de cada punto cambia en cada instante por su laplaciano. Una hondonada (∇²f > 0) sube, un pico (∇²f < 0) baja, así que todo es atraído hacia el promedio vecino. Una rejilla arranca con bultos, con dos picos puestos sobre ella. Cada pulsación del botón de paso empuja cada celda un tranco hacia su promedio vecino. No hay repetición automática. Avanza un solo paso cuando pulsas. Con cada pulsación los picos bajan y los valles se llenan y el color se asienta parejo. Reiniciar vuelve al estado abultado original. Contando los pasos, mira cómo el laplaciano borra las diferencias etapa por etapa.