Las coordenadas son un punto de vista
Señala un edificio y uno dice "tercer piso, puerta roja", otro dice "dos puertas a la izquierda de la entrada". Mismo sitio, números distintos. Los vectores son así. La flecha clavada en el espacio es una cosa fija, pero las coordenadas que leen su posición dependen de la regla que elegimos: la base. Cambia la base y la flecha no se mueve; solo cambian los números. Y una base bien elegida puede volver simple, de golpe, una transformación que parecía enredada. Ese es el secreto de cómo la IA maneja los datos: una "característica" es, al final, una coordenada leída en una base que escogimos.
La flecha azul P está clavada en el mismo punto de la pantalla. Con el botón cambia la regla entre la base estándar y una base sesgada. En la base estándar la cuadrícula es recta y P se lee como (2.0, 1.0). Pasa a la base sesgada y la cuadrícula se inclina a lo largo de b1 (verde) y b2 (naranja), pero la flecha P no se mueve ni un milímetro. Lo único que cambia son los números leídos sobre ella. Ahora P se escribe como tantos b1 más tantos b2. La flecha es, en verdad, una sola cosa quieta en su sitio, sin importar quién la nombre ni cómo.
Ahora arrastra tú mismo el vector azul v. Mientras arrastras, dos pares de números se mueven juntos. Arriba están las coordenadas estándar (vx, vy); abajo, (α, β) leídas en la base sesgada. La misma flecha, traducida a dos idiomas a la vez. Sigue las líneas de la cuadrícula sesgada y lo ves directo: α es cuántos pasos a lo largo de b1, β cuántos a lo largo de b2. Cuando v se alinea con b1, β tiende a cero; alíneala con b2 y α tiende a cero. Una coordenada no es más que la flecha medida con los ojos de esa base.
Puedes empacar una base en una sola matriz: pon de pie los nuevos vectores base como columnas para formar B = [b1 b2]. Mueve las cuatro entradas de B con los deslizadores y el escenario muestra la cuadrícula estándar doblándose según B. Aquí está la clave: las columnas de B son adonde van a parar los vectores base estándar — es decir, son los nuevos vectores base. Y la tarea inversa es la inversa de B, que convierte coordenadas estándar en coordenadas de la nueva base. Lleva los deslizadores hasta que det se acerque a cero y la lectura de la inversa muestra "singular": la base se ha aplanado sobre una recta y ya no puede cubrir el plano.
Si una coordenada desempaca una flecha, al revés puedes ensamblar una flecha a partir de coordenadas. Mueve los deslizadores α y β. Primero dibuja la flecha verde α·b1 desde el origen, luego engancha la flecha naranja β·b2 desde su punta — punta con cola, la suma del paralelogramo. El resultado es la v azul. Como sea que fijes α y β, cada punto del plano se construye de exactamente una manera: ninguno se pierde, ninguno se repite. Por eso (α, β) se vuelve la verdadera dirección de v en esa base.
Ahora la recompensa. Fija una transformación A y usa el botón para alternar entre dos puntos de vista. En la vista estándar la cuadrícula se deforma y una flecha cualquiera hasta tuerce su dirección; cuesta ver de un vistazo qué pasa. Pasa a la vista de la base propia, que pone de pie los dos vectores propios de A como nuevos ejes. Entonces A se vuelve un estiramiento puro a lo largo de esos dos ejes: cada flecha solo cambia de longitud, no rota. La misma transformación, pero vista en la base correcta se ha vuelto tan simple como una matriz diagonal. Las "direcciones que no giran" de la lección de vectores propios eran exactamente esta buena base.