Cambio de base
Del mismo edificio, una persona dice «la puerta roja del 3.er piso» y otra dice «dos puertas a la izquierda de la entrada principal». Señalan el mismo lugar, pero dicen números distintos. Con los vectores pasa lo mismo. La flecha fija en el espacio es una sola, pero las coordenadas que leen su posición dependen de la regla de medir que elegimos, la base. Cambia la regla y la flecha no se mueve; solo cambian los números. Y una regla bien elegida puede volver sencilla, en un instante, una transformación que parecía complicada. Ahí está también el secreto de cómo la IA maneja los datos, porque una característica (feature) es, al final, una coordenada leída en una base que elegimos.
La flecha azul P está clavada en el mismo lugar de la pantalla. Con el botón puedes cambiar la regla de medir entre la base estándar y una base sesgada. En la base estándar la cuadrícula es recta y la flecha se lee (2,0; 1,0). Pasa a la base sesgada y la cuadrícula se inclina siguiendo la b1 verde y la b2 naranja, pero la flecha P no se mueve ni 1mm. Solo cambian los números que se leen, y la ecuación de abajo escribe ahora la flecha como tantas b1 más tantas b2. La llame como la llame cada uno, la flecha es la única cosa que se queda en su sitio.
Esta vez arrastra tú el vector azul v. Mientras lo arrastras, dos pares de números se mueven a la vez: arriba, las coordenadas estándar (vx, vy), y abajo, las coordenadas (α, β) leídas en la base sesgada. Es una misma flecha traducida a dos idiomas a la vez. Sigue las líneas sesgadas de la cuadrícula y verás directamente que α cuenta pasos a lo largo de b1 y β pasos a lo largo de b2. Cuando v queda justo paralelo a b1, β se acerca a 0; cuando queda paralelo a b2, α se acerca a 0. Una coordenada no es más que la flecha medida con los ojos de esa base.
Una base se puede guardar en una sola matriz: coloca los nuevos vectores de base como columnas para formar B = [b1 b2]. Mueve las cuatro casillas de la matriz con los deslizadores y el escenario muestra cómo la cuadrícula estándar se deforma siguiéndola. La clave es que las columnas de la matriz son el lugar adonde llegan los vectores de la base estándar, es decir, los nuevos vectores de base. El trabajo inverso lo hace la matriz inversa, que convierte coordenadas estándar en coordenadas de la nueva base. Abajo aparecen juntas la inversa y el determinante. Mueve con cuidado los deslizadores hasta que el determinante se acerque a 0 y la casilla de la inversa mostrará «singular». Es el momento en que la base se aplasta en una línea y ya no puede cubrir el plano. Pulsa «Reiniciar» para volver a la base estándar.
Si las coordenadas desarman una flecha para leerla, también se puede ir al revés y armar una flecha a partir de coordenadas. Mueve los deslizadores α y β: primero se dibuja desde el origen la flecha verde α·b1 y, desde su punta, se une la flecha naranja β·b2. Es la suma del paralelogramo, punta con cola, y el resultado es la flecha azul. Elijas como elijas α y β, cada punto del plano se construye de una sola manera. No falta ningún punto ni sale ninguno dos veces. Por eso (α, β) es la verdadera dirección postal de la flecha en esa base. La línea de abajo muestra las coordenadas estándar de la flecha armada.
Ahora llega la recompensa. Fija una transformación A y usa el botón para cambiar entre dos puntos de vista. En la vista estándar la cuadrícula se retuerce y una flecha cualquiera hasta cambia de dirección, así que cuesta captar de un vistazo qué ocurre. Pasa a la vista de la base propia y los dos vectores propios de la transformación se convierten en los nuevos ejes. Entonces la transformación es un estiramiento puro, que alarga y acorta a lo largo de esos dos ejes, y las dos flechas no giran: solo cambia su longitud. El factor junto a cada flecha es el valor propio de ese eje, y abajo también aparecen los dos valores propios. Es la misma transformación, pero vista en la base correcta se ha vuelto tan simple como una matriz diagonal. Las direcciones que no giraban en «Los vectores propios son las direcciones que no giran» eran justamente esta buena base.