Funciones complejas y transformaciones
Una función ordinaria y=f(x) toma un número de la recta numérica y devuelve un número, así que puedes dibujar su gráfica. Una función compleja w=f(z), en cambio, toma un punto de un plano y devuelve un punto de un plano. La entrada y la salida son ambas 2D, así que una gráfica ordinaria no sirve. En su lugar, imagina que la función amasa con las manos todo el plano de entrada hasta darle otra forma. Las líneas rectas de la cuadrícula se curvan, los tamaños cambian, el dentro y el fuera se intercambian. Sin embargo, en esta deformación se esconde una regla notable: por mucho que la doble, una función compleja derivable conserva los ángulos a una escala lo bastante pequeña. Esto se llama transformación conforme, y la convierte en una herramienta poderosa: un problema de forma difícil se puede llevar a una forma fácil y resolver allí. En esta lección deformas tú mismo el plano y ves cómo lo amasa una función.
Primero, mira qué significa que una función deforme el plano. Extiende una cuadrícula recta sobre el plano de entrada y elige una función: el lugar adonde va esa cuadrícula se dibuja con curvas doradas. Elige z² y la cuadrícula se dobla suavemente en una cuadrícula curva; elige 1z y la zona cercana al origen se vuelve del revés; elige ez y la cuadrícula se abre en abanico. Los botones de abajo alternan entre las tres. La clave es que las rectas se convierten en curvas. La función dobló el plano. No es «metes x y sale y», como en una función ordinaria, sino «cambias de forma todo el plano de una vez»: esa es la manera de mirar una función compleja.
Mira de cerca la deformación más básica, z². Arrastra el punto azul z y el z² dorado se mueve con él. La regla ya te resulta familiar por las dos lecciones anteriores. En forma polar, si z = r∠θ, entonces z² = r²∠2θ. El ángulo se duplica y el tamaño se eleva al cuadrado. El arco azul y el arco dorado junto al origen muestran los dos ángulos, y las dos líneas de abajo dan sus valores. Pon θ en 30 grados y z² queda en 60 grados; pon θ en 90 grados y z² queda en 180 grados. Esto curva la cuadrícula porque el ángulo de cada punto se abre al doble, así que las rectas se despliegan en abanico y se curvan. En la lección anterior, multiplicar dos veces por eiθ sumaba el ángulo dos veces. z² es z multiplicado por sí mismo, así que es natural que su ángulo sea θ+θ=2θ. Una transformación es, al final, la multiplicación aplicada a todo el plano a la vez.
Ahora llega la verdadera joya de las transformaciones: la conformidad. Dijimos que z² curva la cuadrícula, pero mira adónde van la línea horizontal y la vertical que pasan por z0: las dos se curvaron y, aun así, se cortan exactamente a 90 grados. Las dos rectas tenues son la entrada; las curvas gruesas verde y naranja son adonde fueron, y abajo aparecen, una junto a otra, los ángulos de cruce de la entrada y la salida. Arrastra z0 adonde quieras: dos líneas que se cortaban en ángulo recto en la entrada siguen cortándose en ángulo recto tras la deformación. Eso es la conformidad. Por mucho que una función doble y estire el plano, si amplías lo suficiente alrededor de un punto, allí solo hay giro y escalado. Como mostró «Multiplicar números complejos es rotar», el giro y el escalado no cambian los ángulos, así que los ángulos se conservan. Solo falla en un lugar, el origen, porque la derivada de z², 2z, vale 0 allí. Acerca el punto al origen y aparece ese aviso. Salvo esa excepción, una función compleja derivable conserva los ángulos en todas partes.
Ahora, otra clase de deformación: 1z. Arrastra el punto azul z y el 1z dorado se mueve con él, de una forma algo peculiar. En forma polar, 1z invierte el tamaño de r a 1r y cambia el ángulo de θ a −θ. Invertir el tamaño es la clave. Los puntos de dentro del círculo unitario punteado (radio 1) salen fuera, y los de fuera entran. Un punto pegado al origen sale disparado lejos, hacia el infinito, mientras que un punto muy lejano se reúne cerca del origen. El círculo unitario hace de espejo que intercambia dentro y fuera. El cambio de ángulo a −θ es una reflexión especular respecto al eje real. Esta transformación que da la vuelta al plano también es conforme, así que los ángulos rectos siguen siendo rectos. En problemas de campos eléctricos o de flujo donde la región lejana es difícil de manejar, 1z la da la vuelta y la convierte en un problema finito cerca del origen.
Por último, mira por qué los ingenieros aprecian tanto esto. Hallar directamente cómo fluye el agua alrededor de un cilindro es difícil. Un flujo uniforme sin obstáculos, solo líneas de corriente rectas y paralelas, es muy fácil. La magia de las transformaciones conformes es que conectan los dos. Alterna entre los botones «Flujo uniforme» y «Flujo alrededor del cilindro» y verás que una sola transformación, w=z+1z, lleva exactamente las líneas de corriente rectas del flujo uniforme a las líneas doradas que rodean el cilindro azul. Así que, en la práctica, resuelves el caso fácil y luego basta con trasladar la respuesta a la forma difícil con la transformación. Como la conformidad conserva los ángulos, propiedades físicas como el ángulo con que una línea de corriente toca un borde sobreviven al traslado, y la respuesta trasladada es realmente correcta. El flujo de aire alrededor del ala de un avión, el campo eléctrico alrededor de un electrodo y el agua que fluye bajo una presa se resuelven todos así. Por eso los números complejos no son mera abstracción, sino una herramienta de trabajo de la ingeniería.