Una función compleja deforma el plano en un plano
Una función corriente y=f(x) toma un número en la recta numérica y devuelve un número, así que puedes dibujarla como una gráfica. Pero una función compleja w=f(z) toma un punto del plano y devuelve un punto del plano. La entrada es bidimensional, la salida es bidimensional, así que no cabe en una gráfica corriente. En su lugar, imagínalo así: la función toma todo el plano de entrada y lo amasa a mano hasta darle otra forma. Las cuadrículas rectas se curvan, los ángulos cambian, dentro y fuera se voltean. Y sin embargo, escondida en esta deformación hay una regla asombrosa. Una función compleja diferenciable, por mucho que doble las cosas, preserva los ángulos localmente — quedan exactamente como estaban. Esto se llama mapeo conforme, y convierte a las funciones complejas en una herramienta potente: transforma un problema con una forma difícil en uno con una forma fácil, y resuélvelo ahí. En esta lección deformarás el plano tú mismo y verás cómo una función lo amasa.
Primero, veamos qué significa que una función deforme el plano. Pondré una cuadrícula recta de papel milimetrado sobre el plano de entrada. Elige una función y verás adónde va a parar esa cuadrícula — su imagen deformada dibujada en grueso. Elige z² y la cuadrícula se curva suavemente en una cuadrícula curva; elige 1z y la región cerca del origen se voltea hacia fuera; elige ez y la cuadrícula se abre como un abanico. La clave es que lo que era recto se vuelve curvo. La función ha doblado el plano. No "metes x, sale y" como una función corriente, sino "toma todo el plano y defórmalo en otra forma" — ese es el ojo para ver una función compleja.
De todas las deformaciones, mira de cerca la más básica, z². Arrastra el punto z y z² se mueve con él. La regla es una que tus manos ya conocen de las dos lecciones pasadas. En forma polar, si z = r∠θ, entonces z² = r²∠2θ. El ángulo se duplica y el tamaño se eleva al cuadrado. Pon θ en 30° y z² está en 60°; pon θ en 90° y z² está en 180°. ¿Por qué esto dobla la cuadrícula? Porque el ángulo de cada punto se abre al doble, así que una línea recta se despliega como un abanico y se curva. En la lección 2 dijimos que multiplicar eiθ por sí mismo suma el ángulo dos veces. z² es justo z multiplicado por sí mismo, así que claro que el ángulo se vuelve θ+θ=2θ. Un mapeo es, al final, multiplicación aplicada a todo el plano a la vez.
Ahora, la verdadera joya de los mapeos: la conformidad. Dijimos que z² dobla la cuadrícula. Y sin embargo, mira las imágenes deformadas de una línea horizontal y una vertical que pasan por z0 — ambas se han curvado, y aun así se encuentran exactamente a 90°. Arrastra z0 a donde sea. Dos líneas que se cruzaban en ángulo recto en la entrada siguen cruzándose en ángulo recto tras la deformación. Esto es la conformidad. Por mucho que la función doble y estire el plano, acércate lo suficiente cerca de cualquier punto y lo único que ocurre es rotación y escala. La rotación y la escala no cambian los ángulos (lo viste en la lección 1). Así que los ángulos se conservan. Se rompe en un solo lugar — el origen — porque la derivada de z², 2z, es cero ahí. Salvo esa excepción, una función compleja diferenciable mantiene los ángulos en todas partes.
Mira otra clase de deformación, 1z. Arrastra el punto z y 1z se mueve con él, pero el movimiento es peculiar. En forma polar, 1z invierte el tamaño de r a 1r y cambia el ángulo de θ a −θ. Invertir el tamaño es la clave. Un punto que estaba dentro del círculo unitario (radio 1) va afuera, y uno que estaba afuera viene adentro. Un punto pegado al origen sale volando hacia el infinito, y un punto muy lejano se reúne cerca del origen. El círculo unitario actúa como un espejo que intercambia dentro y fuera. Que el ángulo se vuelva −θ es una reflexión en espejo respecto al eje real. Este mapeo que da la vuelta de dentro afuera también es conforme, así que los ángulos rectos siguen conservándose como rectos. Cuando un problema de campo o de flujo hace incómodo manejar "lo infinitamente lejano", lo volteas con 1z a un problema finito cerca del origen y resuelves ese.
Por último, mira por qué los ingenieros aprecian tanto esto. Calcular directamente cómo fluye el agua alrededor de un cilindro es incómodo. Pero un flujo uniforme sin obstáculo alguno — solo líneas de corriente rectas y paralelas — es facilísimo. La magia del mapeo conforme es que enlaza ambos. Alterna entre las dos imágenes. Un solo mapeo, w=z+1z, lleva el flujo uniforme fácil exactamente sobre el difícil flujo alrededor de un cilindro. Así que en la práctica hallas la respuesta en el lado fácil, luego solo la trasladas con el mapeo a la forma difícil, y listo. Como la conformidad preserva los ángulos, propiedades físicas como el ángulo con que las líneas de corriente encuentran una frontera se trasladan intactas, así que la respuesta es genuinamente correcta. El flujo de aire alrededor del ala de un avión, el campo eléctrico alrededor de un electrodo, el flujo de agua bajo una presa — todo se resuelve así. Por esto los números complejos no son solo una abstracción, sino una herramienta de trabajo de la ingeniería.