Desarrollo por cofactores

Despliega un determinante 3x3 directamente. Recorre la primera fila una celda cada vez con los botones. Elige la celda j y ese término se enciende, y se borran la fila y la columna de ese término. El 2x2 que queda es el menor de ese término, y ese determinante pequeño es el área que ya conocemos. Los signos alternan, más, menos, más. Así el determinante entero es a11 por M11, menos a12 por M12, más a13 por M13. La suma acumulada crece un paso cada vez y al final cae en det. Un determinante grande se parte en una suma con signo de otros más pequeños. Para un 4x4 haces lo mismo una capa más adentro.

Un cofactor tiene dos piezas, un menor y un signo. Pulsa cualquier celda aij de la rejilla y esa celda se destaca, y aparece el menor 2x2 Mij tras borrar la fila i y la columna j. Al lado se muestra el signo (-1)^i+j. Si el número de fila más el de columna es par el signo es más, y si es impar es menos. Así los signos se tienden como un tablero desde la esquina superior izquierda. El menor por este signo es el cofactor Cij = (-1)^i+j Mij. El desarrollo de la figura anterior es la suma, a lo largo de la primera fila, de aij por Cij. Desarrolla por cualquier fila o cualquier columna y obtienes el mismo det. El tablero de signos lo garantiza.

Ahora resuelve un sistema lineal con determinantes. En A x = b la matriz A es una matriz invertible fija, y los deslizadores fijan el lado derecho b1, b2. La regla de Cramer da la respuesta como un cociente de determinantes. x1 es el determinante de la matriz con la columna 1 de A sustituida por b, dividido por det(A), y x2 es el determinante con la columna 2 sustituida por b, dividido por det(A). Las dos matrices sustituidas se muestran como áreas de paralelogramos, así que cuántas veces cabe el área del numerador en la del denominador es x. Mueve b y esos paralelogramos crecen o encogen, y x1, x2 siguen. Como un determinante es un volumen, la respuesta de un sistema lineal sale como un cociente de volúmenes. Cuando det(A) se acerca a 0 el denominador desaparece y la respuesta se dispara.

Siente el signo de un determinante con el deslizador. Mueve una matriz 2x2 y el paralelogramo imagen del cuadrado unidad se mueve con ella. El área de ese paralelogramo es el valor absoluto |det|. El signo es dirección. Si el giro del primer eje al segundo es antihorario, det es positivo. Si es horario, det es negativo. Pasa el deslizador por el instante en que las dos flechas invierten su giro, y en ese instante |det| atraviesa 0 y el signo cambia de más a menos. En 2 dimensiones es un área con signo, en 3 dimensiones un volumen con signo, y en n dimensiones un volumen con signo de n dimensiones. El tamaño es cuánto creció y el signo es si se invirtió, y un determinante guarda ambos.

Un determinante tiene dos caracteres. Es multilineal y es alternante. Intercambia las dos columnas con el botón (swap) y el signo se invierte. El tamaño se queda y el más se vuelve menos, y eso es ser alternante. Gira una columna hacia la otra con el deslizador y las columnas se vuelven paralelas, y en el instante en que se solapan del todo el paralelogramo se aplasta a una línea y det se vuelve 0. Si dos columnas son iguales el determinante es 0, una consecuencia llana de ser alternante. Intercambiar una columna consigo misma debería invertir el signo, pero intercambiar una cosa consigo misma no debería cambiar nada, así que det = -det, lo que significa det = 0. En volumen es más fácil. Si dos aristas yacen en una dirección la figura es plana y no tiene volumen.