El determinante crece hasta el volumen

Despleguemos un determinante 3x3 a mano. Los botones te llevan por la fila superior, celda a celda. Elige la celda j y esa entrada se enciende, luego se tachan su fila y su columna enteras. Lo que queda es un 2x2, el menor de esa entrada, y ese pequeño determinante es el área que ya conocemos. Cada celda lleva un signo alternante +,-,+. Así que el determinante completo es a11 por M11 menos a12 por M12 más a13 por M13. Avanza paso a paso y la suma corriente crece hasta caer exactamente en det. La clave es que un determinante grande se rompe en una suma con signo de pequeños. Para un 4x4 solo haces lo mismo una capa más adentro.

Un cofactor tiene dos partes: un menor y un signo. Haz clic en cualquier celda aij de la rejilla. Esa celda se resalta, y aparece el menor 2x2 Mij que queda tras borrar su fila i y su columna j. A su lado se sienta el signo (-1)^i+j: más cuando el número de fila más el de columna es par, menos cuando es impar. Así los signos se enlosan como un tablero desde la esquina superior izquierda, +,-,+,-. El menor por este signo es el cofactor Cij = (-1)^i+j Mij. La expansión del widget anterior era solo la suma de aij por Cij a lo largo de la fila superior. Expande por cualquier fila o cualquier columna y obtienes el mismo det. El tablero de signos es lo que lo garantiza.

Ahora resuelve un sistema con determinantes. En A x = b, A es una matriz invertible fija y los controles fijan el lado derecho b1, b2. La regla de Cramer da la respuesta como un cociente de determinantes: x1 es el determinante de A con la columna 1 reemplazada por b, dividido entre det(A); x2 es el determinante de A con la columna 2 reemplazada por b, entre det(A). Las dos matrices reemplazadas aparecen como áreas de paralelogramos. Cuántas veces el área del numerador es la del denominador es exactamente x. Mueve b y ese paralelogramo crece o se encoge, y x1, x2 lo siguen. Como un determinante es volumen, la respuesta del sistema sale como un cociente de volúmenes, y ese es el espíritu de Cramer. Cuando det(A) se acerca a 0 el denominador se desvanece y la respuesta explota, lo cual también verás.

Siente a mano lo que significa el signo de un determinante. Mueve la matriz 2x2 y el paralelogramo que es la imagen del cuadrado unitario se mueve con ella. El área de ese paralelogramo es el valor absoluto del determinante, |det|. El signo es la orientación: si el giro de î a ĵ va en sentido antihorario, det es positivo; horario, negativo. Mueve los controles con cuidado hasta que la rotación de las dos flechas se invierta, y observa ese instante: |det| pasa por 0 y el signo cambia de + a -. En dos dimensiones es área con signo, en tres volumen con signo, en n dimensiones n-volumen con signo. El tamaño es cuánto creció, el signo es si se volteó. Un solo determinante lleva ambos.

Por último, los dos caracteres del determinante: es multilineal y alternante. Conmuta un intercambio de dos columnas. El signo simplemente se invierte. El det tiene el mismo tamaño pero + se vuelve -. Esa es la propiedad alternante. Luego usa el deslizador para girar una columna hacia la otra. Las dos columnas se alinean cada vez más, y en el instante en que se solapan por completo el paralelogramo colapsa en una sola línea y det se vuelve 0. Dos columnas iguales fuerzan el determinante a 0, consecuencia llana de la alternancia: intercambiar las dos columnas iguales debería invertir el signo, pero intercambiar cosas idénticas no cambia nada, así que det = -det, lo que significa det = 0. Como volumen es aún más fácil: cuando dos aristas coinciden en una dirección la figura se aplana y no tiene volumen.