Ecuación de segundo orden y amortiguamiento
Un peso colgado de un resorte oscila y luego se calma; el circuito de una radio vibra a una frecuencia concreta. Parecen no tener nada que ver y, sin embargo, obedecen exactamente la misma ecuación. La masa, el amortiguador y el resorte dan m x'' + c x' + k x = 0, y la bobina, la resistencia y el condensador dan L q'' + R q' + qC = 0: solo cambian las letras y la estructura es idéntica. Es una ecuación diferencial lineal de 2.º orden. En la lección anterior, una ecuación de 1.er orden fluía a lo largo de un campo de direcciones. En 2.º orden entra la aceleración y la oscilación se vuelve posible. Que esa oscilación se balancee y se detenga o vuelva suavemente a su sitio lo deciden dos números llamados raíces características. Y cuando esas raíces son complejas, la espiral amortiguada e(σ+iω)t de la línea de los números complejos aparece como la respuesta. En esta lección mueves tú mismo las raíces y ves cómo una sola posición de las raíces decide el destino de una vibración.
Primero, comprueba que un resorte y un circuito son de verdad la misma ecuación. Arriba, la figura muestra una masa sujeta a una pared por un resorte y un amortiguador; abajo, un circuito RLC formado por una bobina, una resistencia y un condensador. Elige las parejas una a una con los botones de abajo y las dos piezas correspondientes se iluminan a la vez, arriba y abajo. La masa m forma pareja con la bobina L. Las dos son inercia que se resiste al cambio: la masa intenta mantener su velocidad y la bobina, su corriente. El amortiguador c forma pareja con la resistencia R. Los dos disipan energía en forma de calor y frenan el movimiento. El resorte k forma pareja con el 1C del condensador, y ambos son fuerzas restauradoras que empujan de vuelta tanto como fueron empujados. Así, las dos ecuaciones, m x'' + c x' + k x = 0 y L q'' + R q' + qC = 0, son gemelas con las letras cambiadas. Si resuelves una, resolviste la otra. La ingeniería mecánica y la eléctrica comparten las mismas matemáticas no por casualidad, sino porque la naturaleza repite la misma estructura.
¿Cómo se resuelve esta ecuación? La idea clave es suponer que la respuesta tiene la forma est. La exponencial es su propia derivada, así que, recordando el y'=ky de la lección anterior, al sustituir x=est cada derivada se convierte simplemente en multiplicar por s. Entonces m x'' + c x' + k x = 0 se reduce a la ordenada ecuación de 2.º grado s² + 2ζs + 1 = 0 (normalizada por comodidad). Las dos raíces de esta ecuación son las raíces características, y guardan todo el carácter de la respuesta. Marca las raíces en el plano complejo, que en ingeniería eléctrica se llama plano s: con amortiguamiento débil, las dos raíces se sientan como un par conjugado sobre el círculo punteado de radio ω₀. La parte real −ζ es el amortiguamiento, cuánto se han desplazado hacia la izquierda, y la parte imaginaria ±√(1−ζ²) es la frecuencia, cuánto se separan en vertical. Pulsa los distintos botones de ζ y las raíces se deslizan por el círculo. Resolver se ha convertido en encontrar estos dos puntos.
¿Qué ocurre cuando las raíces características son complejas? La respuesta es exactamente la espiral amortiguada de la línea de los números complejos. Si las raíces son s = σ ± iωd, la respuesta es eσt multiplicado por la oscilación cos(ωd t). Así, la respuesta en el tiempo oscila como un coseno mientras su amplitud se encoge siguiendo la envolvente eσt. Es justo la forma de una campana que suena y se apaga después de un golpe. La parte real σ es la tasa de amortiguamiento, lo rápido que se apaga, y la parte imaginaria ωd es la frecuencia, lo rápido que oscila. Usa los botones de ζ para acercar las raíces al eje imaginario y el amortiguamiento se debilita, así que suena durante mucho tiempo. Al revés, cuanto más lejos del eje imaginario están las raíces, antes se apaga. Mira de lado la espiral anterior y verás exactamente esta curva que oscila. Un par de raíces características complejas es una oscilación amortiguada.
¿Qué pasa si el amortiguamiento crece? En algún momento la oscilación desaparece por completo. Cuando el amortiguamiento es lo bastante fuerte (ζ ≥ 1), las raíces características pasan de complejas a reales. En el plano s, el par conjugado que estaba sobre el círculo se encuentra en el eje real negativo, y las dos se vuelven raíces reales. Sin parte compleja, no hay oscilación cos. La respuesta es una curva monótona que se apaga exponencialmente y vuelve a su sitio sin una sola oscilación. Compara los dos casos con los dos botones: el amortiguamiento crítico (ζ = 1) es el estado frontera exacto que vuelve lo más rápido posible sin oscilar. El sobreamortiguamiento (ζ > 1) es tan rígido que regresa con lentitud. Los amortiguadores de los coches y los cierrapuertas que evitan los portazos se diseñan a propósito para esta región, el lado que no oscila. Un sistema que no debe vibrar mantiene sus raíces características sobre el eje real.
Ahora reúne todo en una sola escena. Arriba está el plano s, donde viven las raíces características; abajo, la respuesta en el tiempo que producen. Sube ζ despacio desde 0 en la pista de abajo: al principio las dos raíces están como par conjugado sobre el círculo, cerca del eje imaginario, y la respuesta suena mucho tiempo. A medida que ζ crece, las raíces se deslizan por el círculo hacia el eje real y la oscilación se apaga cada vez más rápido. En ζ = 1 las dos raíces se encuentran justo en el eje real, y ese momento es el amortiguamiento crítico, la frontera donde la oscilación desaparece. La marca de la pista señala ese punto. Si sigues subiendo, las raíces se separan sobre el eje real y la respuesta se vuelve un regreso lento y monótono. Los dos puntos de arriba y la curva de abajo se mueven juntos como una sola pieza. Eso es todo lo que hay en un sistema de 2.º orden. Una sola posición de las raíces decide si oscila, lo rápido que se apaga y lo rápido que oscila. La ingeniería de control es, al final, el arte de llevar estas raíces características adonde las quieres.