Resolver un sistema es deshacer la transformación
Resolver sistemas de ecuaciones — en la escuela lo hacías mecánicamente, eliminación y sustitución, dos ecuaciones y cancelas x e y. Pero seguramente nunca le agarraste el sentido de lo que realmente hace. La pregunta de verdad que plantea un sistema es esta: "Apliqué la transformación A a cierta entrada y obtuve b. ¿Cuál era la entrada?" Así que estás rebobinando la transformación. La lección 5 dijo que una matriz es una transformación; la lección 6 dijo que esa transformación puede aplastar el espacio. Esas dos ideas se encuentran aquí mismo. Cuándo tiene solución un sistema y cuándo no, resulta ser exactamente ese dibujo.
Empieza por ver la ecuación Ax = b como un dibujo. A es la transformación, x es la entrada que no conocemos, b es el resultado. Aplica A al plano y cada punto va a parar a algún sitio. El único punto que aterriza justo sobre b — ese es la x que buscamos. Arrastra un punto candidato y pásalo por A. Cuando el resultado de aplicar A queda justo sobre b, esa es tu respuesta. Resolver un sistema es, al final, ir hacia atrás para encontrar la entrada que llega a b.
Pero no puedes andar adivinando candidatos cada vez. Hay una forma más lista. Si A dobló el espacio, entonces existe una transformación que lo dobla exactamente de vuelta. Esa es la inversa, A⁻¹. Mira: aplica A y la cuadrícula se deforma; luego aplica A⁻¹ y la cuadrícula vuelve de golpe a donde empezó. Así que la respuesta es x = A⁻¹b. Pasa b una vez por la transformación que invierte, y aterrizas en el punto de partida x. Esa fórmula para resolver un sistema era un "botón de rebobinar" desde el principio.
¿Pero siempre hay exactamente una respuesta? Si la transformación no aplastó el espacio — es decir, si el determinante de la lección 6 no es 0 — entonces sí. Cuando la transformación reparte los puntos de manera uniforme, cada resultado b tiene exactamente una entrada que aterriza en él. Mueve b por ahí y observa cómo la única x lo sigue cada vez. Una transformación reversible siempre tiene exactamente una respuesta. Ese es el verdadero significado de "si el determinante no es 0, se resuelve limpiamente".
Ahora lleva el determinante a 0. Como viste en la lección 6, el plano queda aplastado sobre una sola línea. Y aquí pasa algo extraño. ¿Si el resultado b no está sobre esa línea? No aterriza nada ahí — no hay solución. ¿Si b está sobre esa línea? Una multitud de entradas quedó machacada en ese único punto, así que hay infinitas soluciones. Arrastra b dentro y fuera de la línea. O nada, o demasiado. Ese temible "no hay inversa" de la lección 6 aparece aquí, idéntico, como "no hay respuesta limpia".
Por último, conectémoslo con el dibujo que aprendiste en la escuela. Grafica las dos ecuaciones de un sistema y obtienes dos rectas, y la respuesta es donde se cruzan. Ese dibujo de "dos rectas que se cruzan" es exactamente lo mismo que el dibujo de "invertir la transformación" que acabamos de ver. ¿Y cuando el determinante es 0? Las dos rectas son paralelas y nunca se cruzan (sin solución), o son la misma recta y se cruzan en todas partes (infinitas). Una transformación aplastada eran rectas paralelas desde el principio. Mira cómo los dos dibujos resultan ser uno solo.