Sistemas lineales y matriz inversa
En la escuela resolviste sistemas de ecuaciones de forma mecánica, por reducción o por sustitución. Ponías dos ecuaciones juntas y eliminabas x e y una a una, probablemente sin intuir qué estabas haciendo. En realidad, un sistema de ecuaciones pregunta esto: al aplicar la transformación A a cierta entrada salió b, ¿cuál era la entrada? Es la tarea de recorrer una transformación hacia atrás. La lección «Las matrices son transformaciones» dijo que una matriz es una transformación, y «El determinante es el factor de escala del área» dijo que esa transformación puede aplastar el espacio; aquí las dos historias se encuentran. Cuándo un sistema tiene solución y cuándo no estaba en ese dibujo desde el principio.
Empieza por visualizar la ecuación Ax = b. A es una transformación, x es la entrada desconocida y b es el resultado. Aplica A al plano y todos los puntos se mueven a alguna parte; el único punto que cae justo en b es la x que buscamos. En la figura, el anillo dorado es b, la flecha azul es una entrada candidata y la flecha verde es lo que A hace con esa candidata. Arrastra el punto azul hasta que la punta de la flecha verde quede dentro del anillo dorado: la flecha se vuelve dorada y abajo aparece la respuesta. Resolver un sistema de ecuaciones es buscar hacia atrás la entrada que llega a b.
Probar candidatas cada vez no es práctico, así que hay una forma más inteligente. Si A curvó el espacio, debe existir una transformación que deshaga exactamente esa curvatura, y esa es la matriz inversa A⁻¹. Avanza por la figura con los botones de flecha: el cuadrado unidad se deforma con A y luego vuelve a su forma original con A⁻¹. El recuadro de abajo muestra la matriz aplicada en cada momento, y en el último paso es la matriz identidad, que no cambia nada. Así que la respuesta es x = A⁻¹b. Pasa b una vez por la transformación que va hacia atrás y llegas al punto de partida. La fórmula para resolver un sistema era, desde siempre, un botón de rebobinar.
¿Hay siempre exactamente una respuesta? La hay si la transformación no aplastó el espacio, es decir, si el determinante de la lección anterior no es 0. Cuando la transformación reparte los puntos de manera uniforme, exactamente una entrada cae en cada resultado b. En la figura, la flecha dorada es el resultado y la azul es la entrada que lo produce; arrastra el punto dorado y cada vez lo sigue una sola flecha azul. La línea de abajo muestra las coordenadas de la entrada junto con el determinante. En una transformación que se puede deshacer, la respuesta es siempre única; eso es lo que de verdad significa «si el determinante no es 0, se resuelve limpiamente».
Ahora mira el caso de determinante 0. Como vimos en la lección anterior, el plano queda aplastado en una sola recta, y ocurre algo curioso. Si el resultado b no está en esa recta, ninguna entrada llega allí, así que no hay respuesta. Si b está en la recta, innumerables entradas quedaron aplastadas en ese único punto, así que hay infinitas respuestas. En la figura, la línea gris gruesa es el plano aplastado. Lleva la punta de la flecha a esa línea y la etiqueta de abajo dice «infinitas»; sácala y dice «sin solución». O no hay respuesta o hay demasiadas: no hay otra opción. Lo que en el determinante se llamaba «sin inversa» aparece en un sistema de ecuaciones como «no hay una respuesta limpia».
Por último, conéctalo con el dibujo de la escuela. Si representas las dos ecuaciones de un sistema obtienes dos rectas, y la respuesta es el punto donde se cortan. El dibujo de dos rectas que se cortan es el mismo que el de recorrer una transformación hacia atrás. Reduce el determinante con el deslizador y las rectas verde y naranja se vuelven cada vez más paralelas; el punto dorado donde se cortan es la respuesta x. En cuanto el determinante llega a 0, las rectas son paralelas y ya no se cortan. Pulsa entonces el botón de abajo para igualar los segundos miembros y las dos rectas coinciden y se cortan en todas partes. El primer caso no tiene respuesta y el segundo tiene infinitas. Una transformación aplastada era, desde el principio, un par de rectas paralelas: los dos dibujos son en realidad uno solo.