La iteración es atraída a un punto fijo
Mete cualquier número en una calculadora y sigue pulsando el botón cos. El resultado deja de cambiar cerca de un solo valor, unos 0.7391. Este simple acto de darle a una función su propia salida una y otra vez es la iteración de punto fijo: x, luego g(x), luego g(g(x)). Se detiene cuando llegas a un punto donde g(x)=x, un punto que sale exactamente como entró. Ese es el punto fijo. Lo notable es que casi donde sea que empieces, eres atraído al mismo punto. Hay una condición: cerca del punto fijo la pendiente |g'| debe ser menor que 1, para que cada paso encoja la distancia, una contracción. Esta idea se esconde por todas partes, desde resolver ecuaciones hasta gráficos por computadora, equilibrios económicos y el PageRank de Google. Y el método de Newton es, en el fondo, una iteración de punto fijo muy rápida.
La curva azul es g(x)=cos x y la recta punteada es y=x. El punto verde donde se cruzan es el punto fijo. Pulsa paso y se dibuja una telaraña (cobweb): desde la x actual sube vertical hasta la curva para leer el siguiente valor, luego cruza horizontal hasta la recta y=x para hacerlo la nueva x. Mueve el inicio x0 a donde quieras y mira la telaraña girar hacia el cruce. Esta única imagen es toda la iteración de punto fijo.
¿Por qué unas iteraciones se juntan y otras se dispersan? La respuesta es un número, la pendiente. Aquí g es una recta con su punto fijo en 1, y el control a es exactamente g'. Mantén |a| por debajo de 1 y la telaraña, dibujada en verde, se ordena dentro del punto fijo. Eso es una contracción. Sube |a| por encima de 1 y se vuelve roja, alejada del punto fijo y divergiendo. Además, cuanto más cerca está |a| de 0, menos pasos hacen falta. Una pendiente pequeña es convergencia rápida.
Es la misma recta g, pero ahora mira el signo de a. El tamaño de la pendiente decide si converge, mientras que el signo decide la forma. Un a positivo crea una escalera que se acerca al punto fijo de forma monótona por un lado. Un a negativo crea una espiral que salta por encima y por debajo del punto fijo, oscilando al invertirse el signo en cada paso. Arrastra el control a través de 0 y verás la escalera volverse espiral y al revés.
La convergencia puede estar garantizada, pero la velocidad varía enormemente. El número de pasos para alcanzar una tolerancia de 1e-6 es aproximadamente n ≈ log(tol)/log|g'|, y la curva muestra esa cuenta frente a |g'|. Pon el control cerca de 0.5 y termina en unos veinte pasos; empújalo hacia 0.95 y la cuenta explota a cientos. Una contracción cercana a 1 sí converge, pero con exasperante lentitud. Por eso justamente vale la pena querer un método más listo.
Aquí está ese método más listo. La iteración de punto fijo común es de convergencia lineal, así que el error encoge solo en una razón constante (digamos la mitad) cada paso. Las barras bajan suavemente. El método de Newton es de convergencia cuadrática, así que el error se eleva al cuadrado cada paso. Los dígitos correctos se duplican y las barras caen como un acantilado. Alterna entre los dos: para alcanzar la misma precisión de 1e-10, lo lineal necesita decenas de pasos mientras que lo cuadrático necesita solo cuatro o cinco. Por eso Newton, que diseña g con astucia para que g'=0 en la raíz, es la iteración de punto fijo más rápida de todas.