Iteración de punto fijo
Mete un número en una calculadora y sigue pulsando cos. El resultado deja de moverse cerca de un número, alrededor de 0.7391. Meter una función en su propia salida, una y otra vez, es la iteración de punto fijo. Después de x viene g(x), y luego g(g(x)). Se detiene en un punto donde g(x)=x, un punto que sale igual que entró. Ese punto es el punto fijo. La lección del plano de fases llama al mismo punto un punto fijo de un flujo. Lo curioso es que muchos inicios son atraídos al mismo punto. Hay una condición. Cerca del punto fijo la pendiente |g'| tiene que ser menor que 1. Solo entonces cada paso acorta la distancia, y eso es una contracción. La idea se esconde al resolver ecuaciones, en los gráficos por ordenador, en el equilibrio económico y en el orden de una búsqueda. El método de Newton también es una iteración de punto fijo muy rápida. La telaraña dibuja ese arrastre.
La curva azul es g(x)=cos x, y la línea punteada es y=x. El punto verde donde se cruzan es el punto fijo. Pulsa un paso y se dibuja una telaraña (cobweb). Desde el x actual sube en vertical hasta la curva para leer el valor siguiente, y de ahí cruza en horizontal hasta la línea y=x y toma ese valor como el nuevo x. Mueve el inicio x0 adonde quieras y la telaraña sigue enrollándose en el cruce. Esta sola figura es toda la iteración de punto fijo. El punto verde es donde las dos líneas comparten una altura.
Unas iteraciones se reúnen y otras se dispersan. La respuesta es una pendiente. Aquí g es una recta y el punto fijo es 1. El deslizador a es g'. Mantén |a| por debajo de 1 y la telaraña se vuelve verde y se apila en el punto fijo. Eso es una contracción. Empuja |a| por encima de 1 y se vuelve roja y es empujada lejos del punto fijo, lo que es divergencia. Cuanto más cerca está |a| de 0, antes termina. Una pendiente pequeña es convergencia rápida.
La misma recta g, pero ahora mira el signo de a. El tamaño de la pendiente decide convergencia o divergencia, y el signo decide la forma. Cuando a es positivo la telaraña es una escalera que se acerca al punto fijo desde un lado. Cuando a es negativo se vuelve una espiral que alterna por encima y por debajo del punto fijo, y el signo se invierte en cada paso. Arrastra el deslizador a través de 0 y ves la escalera volverse espiral, y la espiral volverse escalera.
La convergencia puede estar garantizada y la velocidad seguir siendo muy distinta. El número de pasos para alcanzar una tolerancia de 1e-6 es aproximadamente n ≈ log(tol)/log|g'|. La curva muestra ese número frente a |g'|. Pon el deslizador cerca de 0.5 y termina en unos veinte pasos. Empújalo hacia 0.95 y el recuento estalla en cientos de pasos. Una contracción cercana a 1 sí converge, pero es penosamente lenta. Por eso se quiere un método más rápido.
Aquí está ese método más rápido. La iteración ordinaria de punto fijo es convergencia lineal, así que el error se encoge en una razón fija en cada paso, como una mitad. Las barras bajan con suavidad. El método de Newton es convergencia de orden 2, así que el error se eleva al cuadrado en cada paso, las cifras correctas se duplican y las barras caen como un acantilado. Cambia entre los dos y, para la misma precisión 1e-10, el lineal tarda decenas de pasos y el de orden 2 unos pocos. Newton es la iteración de punto fijo más rápida porque diseña g de modo que g'=0.