Espacio muestral

Empieza por construir el tablero. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral y suele escribirse Ω. Si lanzas dos dados, los resultados van de (1,1) a (6,6), 36 en total. Cada casilla dorada de la figura es un resultado y, como todos son igual de probables, cada uno tiene probabilidad 136. Si sumas las 36 casillas obtienes 1, porque algo tiene que salir. Pero los resultados no siempre se pueden contar. Pueden ser continuos, como cuando eliges cualquier número real entre 0 y 1. En ese caso, el espacio muestral es una región entera, como un cuadrado unidad, y no un conjunto de casillas. Pulsa la pestaña «Continuo» y las casillas dejan paso a puntos repartidos por igual en el cuadrado. Contable o continuo, la clave es la misma: Ω es el tablero que contiene todos los resultados posibles, y su probabilidad total es siempre 1. Ese total de 1 es el punto de partida de todo cálculo.

Ahora mira los sucesos. Un suceso es un conjunto de resultados que nos interesa, como que los dos dados sumen 7. En el tablero, un suceso es solo una región, y su probabilidad es el área que esa región ocupa del tablero entero. Como el área total se fijó en 1, el área de la región es la probabilidad. Arrastra la esquina dorada para cambiar el tamaño del suceso A: cuando cubre la mitad del tablero, P(A) vale 0,5; cuando cubre solo un cuarto, vale 0,25. Puedes comprobarlo con puntos. De los muchos puntos esparcidos por el tablero, los que caen dentro de A se vuelven dorados, y su proporción aparece abajo junto al área. Los dos valores siempre quedan cerca. Es el método de Montecarlo, la forma en que las computadoras calculan de verdad probabilidades complicadas. Vista como área, o como la proporción de puntos que caen en una región, una cifra abstracta se convierte en una superficie visible.

Si los sucesos son regiones, combinar sucesos es combinar regiones. Superpón dos sucesos A y B y pulsa los botones uno a uno. A o B, la unión A∪B, es el área de las dos regiones juntas. No debes contar dos veces la parte común, así que P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B): resta una vez el solapamiento. A y B, la intersección A∩B, es el área donde se solapan las dos regiones, el caso en que ocurren ambas a la vez. El complemento Aᶜ es lo que queda del tablero tras quitar el suceso, así que P(Aᶜ) = 1 − P(A). La región elegida se colorea, y abajo aparece su área como probabilidad. El «o», el «y» y el «no» que tanto confunden dichos con palabras son, en el dibujo, solo unir, solapar y recortar regiones. Los diagramas de Venn no existen por casualidad: la lógica de la probabilidad es en realidad la geometría del área.

Ahora la idea más confusa y a la vez más poderosa: la probabilidad condicionada. La probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B se escribe P(A|B). En un dibujo es muy fácil. Saber que B ocurrió reduce todo nuestro mundo a B. Lo que queda fuera de B no ocurrió, así que se retira del escenario. Activa el interruptor y la zona fuera de B se oscurece mientras el tablero se encoge hasta B. Dentro de ese mundo nuevo y más pequeño, el suceso ocupa solo la parte A∩B. Así, P(A|B) = área(A∩B)área(B): divide la intersección entre B, el nuevo todo. El denominador solo ha cambiado del todo Ω, cuya probabilidad es 1, a P(B). La probabilidad condicionada consiste en tomar B como el nuevo todo y medir la probabilidad de nuevo. Cuando llega información nueva, se reduce el espacio muestral y se vuelve a calcular; esa es la semilla de la inferencia bayesiana y de todo el aprendizaje estadístico.

Por último, la independencia. Dos sucesos son independientes cuando saber que uno ocurrió no cambia la probabilidad del otro: P(A|B) = P(A). La información «ocurrió B» no añade nada sobre A. Así se construye en un dibujo. Divide el tablero con la línea vertical verde y llama A a la franja izquierda, de modo que P(A) es su anchura; divídelo con la línea horizontal naranja y llama B a la franja inferior, de modo que P(B) es su altura. Arrastra las dos líneas y la región donde ocurren ambos, A∩B, es el rectángulo dorado de abajo a la izquierda, cuya área es anchura por altura, P(A) × P(B). Ese es el núcleo de la independencia: P(A∩B) = P(A) · P(B), basta multiplicar. Como lo horizontal y lo vertical no interfieren en absoluto, el área de la intersección es simplemente el producto de los dos lados. Cuando un lado no influye en el otro, como en dos lanzamientos de moneda o en las averías de dos piezas sin relación, las probabilidades simplemente se multiplican. La independencia es la suposición más agradecida que hay: termina un cálculo de probabilidad con una sola multiplicación.