Error numérico y tamaño de paso
Los métodos de este conjunto comparten una promesa. El error es aproximadamente C por el paso elevado a p, es decir error≈C·hᵖ. Aquí p es el orden del método. Euler es de orden 1, RK2 de orden 2, y RK4 y Simpson de orden 4. Si marcas el error y el paso h en ejes logarítmicos, sale una recta cuya pendiente es el orden p. El orden es igual a la pendiente. Corta el paso por la mitad y un error de orden p se encoge por 2 elevado a p. Para un método de orden 4 eso es un factor de 16. Encoger h sin fin no es el final. Demasiado pequeño, y el error de redondeo sube desde el suelo. Un método explícito explota al cruzar su límite de estabilidad. El número de pasos crece como 1/h, así que el coste sube. La elección real del análisis numérico es el equilibrio entre exactitud y coste. Las rectas de la primera figura son esos órdenes, dibujados como pendientes.
El eje horizontal es log h y el vertical es el log del error. Toma el logaritmo de los dos lados de error=C·hᵖ y obtienes una recta cuya pendiente es exactamente el orden p. Las tres rectas son el orden 1 en azul, el orden 2 en naranja y el orden 4 en verde. Un botón destaca un orden, y el deslizador de h mueve un punto a lo largo de la recta. Encoge h en la misma cantidad y el punto de la recta de orden 4 baja mucho más empinado. Un orden mayor significa que el mismo esfuerzo corta el error más rápido. Esta sola figura es el mapa de todo el conjunto.
Por el orden solo, enviar h a 0 debería enviar el error a 0. La realidad es distinta. El error total es el truncamiento C·h² más un trozo de redondeo ε/h. Encoge h y el primer término baja mientras el segundo sube. La curva dibuja por eso un valle en forma de U. Arrastra el deslizador de h hasta el extremo izquierdo del valle y el punto se vuelve rojo, choca con el suelo del redondeo y el error vuelve a crecer. Nada es infinitamente preciso. El fondo del valle es lo mejor que esa máquina puede dar.
La exactitud no es el único muro. Toma el decaimiento y'=−ky con k=5 y resuélvelo con Euler explícito. La banda de arriba es el eje del paso. El verde es estable y exacto. El rojo es inestable. La frontera es h = 2/k = 0.4. Mueve el punto del deslizador dentro del verde y un paso menor se queda más cerca de la solución verdadera. Cruza 0.4 hacia el rojo y, sea cual sea la exactitud, la solución numérica cambia de signo y explota. Un paso corto no es solo precisión. También es la línea que frena una explosión.
Cuatro métodos comparten un plano. Las rectas de error de Euler (orden 1), RK2 (orden 2), RK4 (orden 4) y Simpson (orden 4) se dibujan juntas. Elige un método con un botón y su recta se destaca, y el deslizador de h mueve el punto de todas las rectas a la vez. Con un h grande la brecha es pequeña. Al encoger h los métodos de orden mayor se vuelven mucho más exactos. Incluso en el mismo orden 4, la recta de Simpson queda un poco por debajo de RK4 porque su coeficiente C es menor. El orden fija la pendiente y el coeficiente fija la altura.
Lo último es el tira y afloja práctico. Se ven dos barras. El error = C·h² se encoge al encoger h, y el coste, el número de pasos ∝ 1/h, crece al encoger h. La curva de abajo es su suma ponderada, la pérdida total. Arrastra el deslizador de h a cualquiera de los extremos y un extremo tiene demasiado error mientras el otro tiene demasiado coste. En algún lugar del medio está el mejor sitio. El punto se vuelve verde ahí, el paso que satisface a la vez la precisión y el coste. Los puntos de los dos extremos se quedan naranjas. Ese sitio es la conclusión a la que apuntaba todo el conjunto.