El paso decide el error
Todo método de este paquete está atado a una sola promesa: el error es aproximadamente C por h elevado a p, es decir error≈C·hᵖ, donde p es el orden del método. Euler es de primer orden, RK2 de segundo, RK4 y Simpson de cuarto. ¿Por qué importa? Grafica el error contra el paso h en ejes log-log y obtienes una recta cuya pendiente es exactamente el orden p. Orden igual a pendiente. Así que reducir el paso a la mitad recorta un error de orden p en dos elevado a p, dieciséis veces para un método de cuarto orden. ¿Entonces basta con seguir reduciendo h sin fin? No. Si lo haces demasiado pequeño, el error de redondeo sube desde el piso, y los métodos explícitos explotan al cruzar un límite de estabilidad. Además el número de pasos crece como 1/h, así que el costo se dispara. Al final, el verdadero oficio del análisis numérico es hallar el equilibrio entre precisión y costo.
El eje horizontal es log h, el vertical log(error). Toma el logaritmo de ambos lados de error=C·hᵖ y obtienes una recta cuya pendiente es exactamente el orden p. Las tres rectas son de primer, segundo y cuarto orden. Usa los segmentos para resaltar un orden y mueve el punto por su recta con el control de h. Ante la misma bajada de h, el punto de cuarto orden cae mucho más pronunciado. Mayor orden significa que el error baja mucho más rápido con el mismo esfuerzo. Este único gráfico es el mapa de todo el paquete.
Solo por la lógica del orden, llevar h a 0 debería llevar el error a 0 también. La realidad difiere. El error total es el término de truncamiento C·h² más el de redondeo ε/h. Reduce h y el primer término baja pero el segundo sube, así que la curva traza un valle en U. Arrastra el control de h al extremo izquierdo del valle. El punto se pone rojo al chocar con el piso de redondeo y el error vuelve a crecer. Nada es infinitamente preciso. El fondo del valle es lo mejor que esa máquina puede lograr.
La precisión no es el único muro. Toma la ecuación de decaimiento y'=−ky con k=5 y resuélvela con Euler explícito. La franja de arriba es el eje del paso. La zona verde es estable y precisa, la roja es inestable, con la frontera en h = 2/k = 0.4. Mueve el punto del control dentro del verde y pasos menores se ciñen a la solución real. Pero cruza el 0.4 hacia el rojo y, sin importar la precisión, la solución numérica cambia de signo y explota. Un paso pequeño no es solo precisión; es también la línea de seguridad contra la divergencia.
Ahora reúne cuatro métodos en un solo plano para comparar. Se dibujan juntas las rectas de error de Euler (1.º), RK2 (2.º), RK4 (4.º) y Simpson (4.º). Elige un método con los segmentos para resaltar su recta, y el control de h mueve el punto en todas las rectas a la vez. Con h grande las diferencias son pequeñas, pero al reducir h los métodos de orden alto se vuelven abrumadoramente más precisos. Aun al mismo cuarto orden, la recta de Simpson queda un poco por debajo de RK4 porque su coeficiente C es menor. El orden fija la pendiente, el coeficiente fija la altura.
El cierre es el tira y afloja del mundo real. Aparecen dos barras. El error = C·h² se encoge al reducir h, mientras el costo = pasos ∝ 1/h crece al reducir h. La curva de abajo es su suma ponderada, la mala calidad total. Arrastra el control de h a ambos extremos. Un extremo es demasiado error, el otro demasiado costo, y en algún punto intermedio está el óptimo. Donde el punto se pone verde está el mejor paso que satisface precisión y costo a la vez. Esta es la conclusión a la que apuntaba todo el paquete.