Taylor mimetiza una curva con un polinomio
Una curva es complicada; un polinomio es fácil de manejar. La idea de Taylor es simple. Elige un punto y construye un polinomio que en ese punto tenga la misma altura, la misma pendiente, la misma curvatura (segunda derivada), y así, igualando cada vez más derivadas. Cuanto mayor es el grado, más fielmente imita la curva cerca de ese punto. Hasta funciones trascendentes como sin, cos y ex pueden escribirse como una suma infinita de términos polinómicos (una serie de potencias), y así es exactamente como una calculadora halla sus valores. Pero aléjate del centro y la aproximación se desmorona. El tamaño de ese derrumbe es el resto (el error de truncamiento), y todo método numérico de este grupo es, en el fondo, la historia de pelear contra ese error.
Sube el control de grado. El grado 1 es solo la recta tangente, así que deja la curva enseguida. Llévalo a 3, 5, 7 y el polinomio abraza la curva seno en un tramo cada vez más ancho. La frase clave es "cerca del centro": para cualquier grado, cuanto más cerca del centro (aquí 0) mejor encaja, y hacia los extremos termina despegándose, porque un polinomio debe dispararse a lo lejos. Aun así, con suficientes términos, en la ventana que ves se vuelve casi indistinguible del seno.
Ahora apila ex término a término. El primer término es 1 (una constante), luego x, luego x²/2, luego x³/6 — cada término es xᵏ/k!. Las barras de abajo son el tamaño de cada término en x=2: crecen al principio y luego encogen rápido cuando el factorial (k!) del denominador toma el mando. Por eso la suma parcial se asienta en un valor. Mira cómo T(2) se acerca al verdadero e²≈7.39 a medida que sumas términos. Una función que se asienta así para todo x se llama analítica, y ex, sin y cos son los ejemplos estrella. La próxima lección pregunta hasta dónde llega ese asentamiento (el radio de convergencia).
La barra roja es la brecha entre el seno y el polinomio — el error. Coloca la sonda cerca del centro 0 y la barra es casi invisible. Pero arrastra la sonda hacia cualquier extremo y, pasado cierto punto, la barra crece de golpe. Subir el grado ensancha la zona de buen ajuste, pero más allá el error sigue explotando. Este es el instinto clave al usar una aproximación de Taylor: lo que fija el error no es "qué tan precisa es" en abstracto, sino "qué tan lejos del centro estás." Por eso, en la práctica, colocas el centro cerca del punto que de verdad te importa.
Da un solo paso de un Taylor de grado 1 — la recta tangente. Mide la pendiente en un punto y avanza sobre esa recta una distancia h para predecir el siguiente valor. La línea discontinua es esa predicción; la curva es la verdad. Con h pequeño las dos casi coinciden, pero al crecer h se abre la brecha roja. Esa brecha es el resto del Taylor de primer orden, el error de truncamiento. Y esto es exactamente lo que hace el método de Euler (lección 5 de este grupo) en cada paso: tomar la pendiente de una ecuación diferencial y avanzar un paso recto cada vez. Por eso la aproximación y los métodos numéricos comparten una raíz — el resto de una aproximación polinómica se convierte en el error de un método numérico.
Elige una función. Toma sin y pon los términos en 1 y obtienes sin x ≈ x. Esa es la aproximación de ángulo pequeño que la física siempre usa con péndulos y oscilaciones pequeñas, y encaja mejor cuanto menor es el ángulo. El coseno empieza como 1 − x²/2, y ex como 1 + x + x²/2. Las calculadoras y los ordenadores evalúan sin, cos, ex y logaritmos con polinomios como estos (más una pequeña corrección). Ese es el truco con el que una máquina que solo sabe multiplicar y sumar maneja funciones trascendentes. El principio nunca cambia: decide la precisión que necesitas y gasta esa cantidad de términos.