Serie de Taylor
Una curva es difícil de manejar y un polinomio es fácil. La idea de Taylor es fijar un punto. En ese punto el polinomio iguala la altura de la curva, su pendiente, su curvatura a través de la derivada de orden 2, y luego las derivadas más altas una tras otra. Sube el grado y el polinomio copia la curva con más fidelidad cerca de ese punto. Incluso funciones trascendentes como sin, cos y ex se escriben como polinomios sumados sin fin, una serie de potencias, y una calculadora halla sus valores así. Aléjate del centro y la aproximación se deshace. El tamaño de ese desajuste es el resto, el error de truncamiento, y el análisis numérico de este conjunto pelea con ese error. Dónde colocas el centro decide el intervalo en el que la aproximación merece usarse. Dentro de ese intervalo el polinomio sustituye a la curva. Fuera, el resto estropea la respuesta.
Sube el deslizador del grado. El grado 1 es solo la tangente, una recta, y abandona enseguida la curva gris. Sube el grado por 3, 5 y 7 y el polinomio dorado abraza más ampliamente la curva de sin. En cualquier grado el ajuste es mejor cerca del centro, aquí 0, y se separa hacia los dos extremos. Un polinomio está condenado a divergir lejos del centro. Añade bastantes términos y, en el intervalo que se ve, queda casi encima de sin.
Esta vez apila ex término a término. El primer término es la constante 1, el siguiente es x, luego x²/2 y x³/6, y cada término es xᵏ/k!. Las barras de abajo son el tamaño de cada término en x=2. Crecen al principio y luego encogen rápido cuando el factorial (k!) del denominador se hace grande. Por eso la suma parcial se asienta en un valor. Añade términos y T(2) se acerca al valor verdadero e²≈7.39. Una función que se asienta así para todo x es analítica, y ex, sin y cos son los ejemplos. Hasta dónde llega ese asentamiento, el radio de convergencia, es la historia que sigue.
La barra naranja es el hueco entre sin y el polinomio dorado, el error. Deja la sonda x cerca del centro 0 y la barra casi desaparece. Arrastra la sonda hacia cualquiera de los extremos y, pasado un punto, la barra se alarga de golpe. Subir el grado ensancha el intervalo que ajusta, y fuera de él el error sigue explotando. Lo que importa en una aproximación de Taylor es cuánto te has alejado del centro. Esa distancia, más que cualquier alarde de exactitud, fija el error. Por eso colocas el centro cerca del punto que de verdad te importa. La lectura bajo la barra es el tamaño de ese hueco.
Un polinomio de Taylor de grado 1 es un paso a lo largo de la tangente. Mide la pendiente en un punto y avanza una distancia h por esa recta para predecir el valor siguiente. La línea verde punteada es esa predicción y la curva es el valor verdadero. Cuando h es pequeño los dos casi coinciden, y cuando agrandas h se abre el hueco naranja. Ese hueco es el resto del paso de Taylor de orden 1, el error de truncamiento. Este paso es lo que hace el método de Euler en cada paso. Toma la pendiente de una ecuación diferencial y camina hacia delante en tramos rectos. La aproximación y el análisis numérico comparten raíz, y el resto del polinomio es el error del método numérico.
Elige una función. Elige sin y pon el número de términos en 1, y obtienes sin x ≈ x. Esa es la aproximación de ángulo pequeño que se usa para un péndulo y para una oscilación pequeña, y ajusta mejor cuanto menor es el ángulo. cos empieza en 1 − x²/2, y ex empieza en 1 + x + x²/2. Las calculadoras y los ordenadores hallan sin, cos, ex y los logaritmos con polinomios como estos más una pequeña corrección. Una máquina que solo sabe multiplicar y sumar trata así las funciones trascendentes. Decides la exactitud que necesitas y te quedas con tantos términos. En un péndulo de ángulo pequeño, esta sola línea a menudo sustituye a toda la ecuación del movimiento.