Teoremas de Green Stokes y Gauss
La divergencia mide cuánto se escapa de un punto, y el rotacional mide cuánto gira ahí. A veces quieres la región entera, no un solo punto. Suma cada poco de divergencia dentro de una región y la suma es igual al total que sale por la frontera. Suma cada poco de rotacional dentro y la suma es igual a la circulación a lo largo de la frontera. La primera promesa es el teorema de Gauss. La segunda es el teorema de Stokes. Puedes conocer el total de lo que ocurre dentro midiendo solo la frontera. Es el atajo que cambia una integral de área ancha por una integral corta alrededor del borde. En cada figura el disco es la región y las flechas de su borde son la medida a lo largo de la frontera.
El teorema de Gauss, dibujado como un círculo. El fondo es un mapa de color de la divergencia, dorado donde el flujo se escapa y azul donde es absorbido. Alrededor del círculo hay flechas que apuntan hacia fuera. El dorado es flujo que sale, y el azul es flujo que entra. Agranda o encoge el círculo con el deslizador del radio y dos números siguen juntos. El interior es la suma de la divergencia en el disco. La frontera es el flujo total que cruza el borde. Sea cual sea el radio, los dos se mantienen casi iguales. Eso es el teorema de Gauss.
Ahora la figura se aparta y quedan solo dos números, uno junto al otro. El de la izquierda es ∫∫ ∇·F dA, la integral de área de cada poco de divergencia dentro del círculo. El de la derecha es ∮ F·n ds, el flujo que se escapa hacia fuera, reunido una vuelta alrededor del borde. Mueve el deslizador del radio y los dos valores viajan juntos y se mantienen casi iguales, y la marca de coincidencia del medio lo confirma. Uno tiene que barrer todo el disco. El otro solo necesita la línea de la frontera. Por eso el teorema es un atajo.
Esta vez es el teorema de Stokes, y el campo ha cambiado. Un vórtice gira en sentido antihorario cerca del origen, y el fondo es un mapa de color del rotacional. El dorado es giro antihorario, más fuerte en el centro, y las flechas del círculo apuntan tangentes al borde. Mueve el deslizador del radio y el número interior es la suma del rotacional en el disco, mientras el de la frontera es la circulación alrededor del borde. Agranda el círculo y los dos valores crecen juntos y siguen señalando el mismo número. La suma de dentro y la integral de la frontera coinciden, y las dos lecturas lo muestran. Las flechas tangentes son la parte del flujo que corre a lo largo del borde, que es justo lo que cuenta la circulación.
Otra vez la figura se aparta y quedan solo dos números. El de la izquierda es ∫∫ ∇×F dA, la integral de área de cada poco de rotacional dentro del círculo. El de la derecha es ∮ F·dr, la circulación del campo una vuelta alrededor del borde. Mueve el deslizador del radio y los dos valores crecen juntos y se mantienen casi iguales, y la marca de coincidencia del medio lo confirma. Donde el teorema de Gauss cambió la divergencia de una región por el flujo de su frontera, el teorema de Stokes cambia el rotacional de una superficie por la circulación de su frontera. Suma todo el giro de dentro y obtienes el giro de la frontera.
Por último, los dos teoremas comparten un círculo. Hay un par de botones. Pulsa Gauss y aparecen flechas normales hacia fuera en el borde, y la etiqueta pasa a decir que el flujo que sale es igual a la suma de la divergencia de dentro. Pulsa Stokes y el mismo borde cambia a flechas tangentes, y la etiqueta pasa a decir que la circulación es igual a la suma del rotacional de dentro. Un control cambia ∇· por ∇×, y la normal por la tangente, todo a la vez. Las dos formas son gemelas. Ambas dicen que una derivada sumada dentro es igual a una integral medida en la frontera. Solo cambian la derivada elegida y el modo en que las flechas se plantan en la frontera. Esa frase sostiene el cálculo vectorial.