Un gradiente nunca gira, un rotacional nunca se esparce
A lo largo de tres lecciones has tomado dos operadores. La divergencia pregunta "¿se esparce?", el rotacional pregunta "¿gira?" Entre ambos hay dos promesas que nunca se rompen. Un campo construido a partir de un gradiente tiene rotacional exactamente cero, no importa cómo lo retuerzas (∇×(∇φ)=0); un campo construido a partir de un rotacional tiene divergencia exactamente cero, no importa cómo lo revuelvas (∇·(∇×A)=0). Un gradiente sabe subir pero nunca girar; un remolino sabe girar pero nunca fugarse. Más asombroso es lo recíproco: cualquier campo del mundo se parte en una pieza de pura fuente más una pieza de puro giro. Esto es la descomposición de Helmholtz. Hiende un campo en dos caracteres, dejándote extraer dónde nace el flujo y dónde solo gira en redondo.
Aquí hay un bulto escalar φ con las flechas del gradiente (∇φ) tendidas encima. Todas apuntan cuesta arriba hacia la cima del bulto. Usa el deslizador para agrandar y encoger la altura del bulto. Las flechas se alargan y acortan, oleando, pero el mapa de color del rotacional a su lado se queda en un solo tono neutro de principio a fin. Como sea que lo agites, ∇×(∇φ) no se mueve de cero. Un campo gradiente lleva un solo sentido de dirección, "cuesta arriba", así que una componente de giro nunca puede surgir de entrada. Sabe subir, pero nunca sabe girar.
Ahora el otro lado. A partir de una función de corriente ψ construimos un campo de giro. La parte a lo ancho es ∂ψ/∂y, la parte hacia arriba es −∂ψ/∂x, y construidas así las flechas giran alrededor del lazo. Usa el deslizador para crecer la fuerza de ψ. El giro se vuelve fiero y tenue, oleando, pero el mapa de color de la divergencia a su lado sostiene de nuevo un solo tono neutro. ∇·(giro) no se mueve de cero. Un campo formado de una función de corriente deja salir exactamente lo que entra, así que en ningún punto se fuga ni se junta. Sabe girar, pero nunca sabe esparcirse. (En 3D esto es ∇·(∇×A)=0; en 2D se ve así.)
Ahora mira el campo general F, la suma de ambos. Alterna entre tres vistas. Primero, el campo completo F tiene flechas que se alzan hacia un lado mientras giran a la vez, así que fuente o giro es difícil de distinguir a simple vista. Pulsa "parte de fuente" y solo queda la pieza del gradiente (∇φ), revelando un flujo puro que se extiende en todas direcciones desde el bulto. Pulsa "parte de giro" y solo queda la pieza de la función de corriente, mostrando el grano giratorio. Has partido el mismo F en dos caracteres. Que cualquier campo complicado se hienda así en una pieza de fuente más una pieza de giro es el corazón de la descomposición de Helmholtz.
Extrae solo la parte de fuente. Las flechas son la pieza del gradiente (∇φ), y el color de fondo es su divergencia. Su rotacional es cero, como viste. Pero su divergencia no es cero. Dentro del bulto el color se intensifica, mostrando que todas las fuentes y sumideros del flujo se juntan justo aquí. Arrastra la sonda. Donde la pongas, la lectura del rotacional se mantiene cerca de cero (sin giro), mientras la lectura de la divergencia se separa claramente en positivo o negativo según el lugar. En un campo, la parte donde el flujo nace y muere la lleva entera esta pieza de fuente. Sin giro alguno.
Ahora extrae solo la parte de giro. Las flechas son la pieza de la función de corriente, y el color de fondo es su rotacional. Su divergencia es cero, como viste en el segundo bloque. Pero su rotacional no es cero. Los dos sitios de vórtice se intensifican en color, donde se junta todo el giro del campo. Arrastra la sonda. Donde la pongas, la lectura de la divergencia se mantiene cerca de cero (sin fuga), mientras la lectura del rotacional se separa claramente en antihorario u horario según el lugar. Al final un campo son dos piezas: la pieza de fuente guarda toda la divergencia, la pieza de giro guarda todo el rotacional. Divergencia y rotacional, las dos caras que aprendiste a lo largo de dos lecciones, se funden aquí en un campo y luego se separan de nuevo con nitidez.