Identidades del cálculo vectorial
La divergencia pregunta si algo se esparce, y el rotacional pregunta si algo gira. Entre las dos hay dos promesas que nunca se rompen. Un campo hecho de un gradiente tiene rotacional exactamente 0 por mucho que lo tuerzas, y la fórmula es ∇×(∇φ)=0. Un campo hecho de un rotacional tiene divergencia exactamente 0 por mucho que lo remuevas, y la fórmula es ∇·(∇×A)=0. Un gradiente puede subir pero no sabe girar, y un giro puede girar pero no sabe fugarse. La sorpresa es el revés. Cualquier campo se parte en la suma de una pieza de fuente pura y una pieza de giro pura, y eso es la descomposición de Helmholtz. Parte un campo en dos caracteres, para que separes dónde nace el flujo y dónde da vueltas. Una fuente sale de la pendiente de una altura, y un giro sale de un grano que da vueltas. Apila ambos en un campo y las promesas siguen en pie.
Hay un bulto escalar φ, y sobre él yacen flechas de gradiente doradas. Cada flecha señala la subida, hacia la cima del bulto. Sube y baja la altura del bulto con el deslizador y las flechas crecen y menguan y se mecen, mientras el mapa de color del rotacional al lado se queda de un solo color neutro de principio a fin. Lo sacudas como lo sacudas, ∇×(∇φ) no se mueve de 0. Un campo gradiente tiene solo el sentido de la subida, así que una parte que gire no puede nacer. Puede subir, y no sabe girar. Neutro significa que no gira, y por alta que hagas el bulto ese color se queda como está.
Ahora el otro lado. Un campo de giro se construye desde una función de corriente ψ. La parte horizontal es ∂ψ/∂y, y la parte vertical es −∂ψ/∂x, y construido así las flechas azules giran a lo largo del contorno. Sube la fuerza de ψ con el deslizador y el giro crece y se apaga y se mece, mientras el mapa de color de la divergencia al lado se queda de ese mismo color neutro. La divergencia no se mueve de 0. Un campo formado desde una función de corriente sale exactamente tanto como entra, así que ni se fuga ni se junta en ningún punto. Puede girar, y no sabe fugarse. La identidad de 3 dimensiones ∇·(∇×A)=0 aparece en 2D así. Por fieras que se pongan las flechas azules, la cantidad que se fuga no crece, y lo que entra sigue saliendo.
Ahora mira un campo general, los dos sumados. Los botones pasan entre tres vistas. Primero el campo entero tiene flechas que se alzan hacia un lado y giran a la vez, así que de un vistazo no distingues fuente de giro. Pulsa la parte de fuente y queda solo la parte de gradiente, un flujo puro que se extiende desde el bulto, y la nota se vuelve dorada. Pulsa la parte de giro y queda solo la parte de la función de corriente, un grano que gira, y la nota se vuelve azul. El mismo campo se ha partido en dos caracteres. Que cualquier campo complicado se parta como pieza de fuente más pieza de giro es el corazón de la descomposición de Helmholtz. Cada vez que pasas entre los botones las mismas flechas muestran otro carácter, y los dos granos que sumaste aparecen aparte.
Separa solo la pieza de fuente. Las flechas son la parte de gradiente dorada, y el color de fondo es su divergencia. Ya viste que el rotacional es 0, y la divergencia no es 0. El interior del bulto está teñido de un color fuerte, y muestra que toda fuente y todo sumidero del flujo se reúnen aquí. Arrastra la sonda y donde la pongas la lectura del rotacional se queda cerca de 0 y no gira, mientras la lectura de la divergencia se parte con claridad en positiva y negativa según el sitio. La parte de un campo donde el flujo nace y donde desaparece la carga entera esta pieza de fuente. No hay giro alguno en ella. Positivo es donde el flujo nace y negativo es donde el flujo desaparece. Los dos viven solo dentro de esta pieza.
Ahora separa solo la pieza de giro. Las flechas son la parte azul de la función de corriente, y el color de fondo es su rotacional. Ya viste que la divergencia es 0, y el rotacional no es 0. Los dos sitios de giro están teñidos de un color fuerte, y toda parte que gira del campo se reúne ahí. Arrastra la sonda y donde la pongas la lectura de la divergencia se queda cerca de 0 y no se fuga, mientras la lectura del rotacional se parte según el sitio en dorado para el sentido antihorario y azul para el horario. Un campo son dos piezas: la pieza de fuente guarda toda divergencia, y la pieza de giro guarda todo rotacional. Las dos caras, divergencia y rotacional, se juntan aquí en un campo y se vuelven a separar. El dorado y el azul se distinguen solo en el sentido del giro. Ninguno de los dos tiene fuga.