Campos escalares y vectoriales
En un mapa del tiempo puedes tocar cualquier ciudad y leer su temperatura, y las flechas del viento llevan una dirección y una intensidad en cada lugar. Asignar así un valor a cada punto del espacio da un campo (field). Si el valor asignado es un solo número, es un campo escalar, como la temperatura; si es una flecha, es un campo vectorial, como el viento. La temperatura y la presión, la velocidad y la tensión de la ingeniería se describen, sin excepción, como campos. El cálculo vectorial es el lenguaje para manejar justamente estos campos, y esta lección es su escena inicial.
Empieza por un campo escalar. Cada punto lleva un número, dibujado como un mapa de temperatura en el que los colores más cálidos indican valores mayores. Arrastra la sonda y, dondequiera que la pongas, la temperatura de ese punto aparece abajo al instante. Los valores son altos cerca de los dos puntos cálidos y bajan a medida que te alejas de ellos. Lo importante es que el valor ya estaba en ese punto. La sonda no crea un valor: solo lee lo que ya había allí. Valores repartidos por todos los puntos del espacio sin dejar huecos: eso es un campo.
Hay dos clases de campos. Si lo que se asigna a cada punto es un solo número, es un campo escalar; si es una flecha, es un campo vectorial. Pulsa los botones «Campo escalar» y «Campo vectorial» y se alternan un mapa de altitud y un mapa de viento. El lado escalar es la altitud, así que cada punto guarda una sola cosa, cuán alto está; el lado vectorial es el viento, así que la flecha de cada punto indica hacia dónde sopla y con qué fuerza. El mismo espacio, distinta clase de información asignada. Las magnitudes que solo tienen tamaño, como la altura o la temperatura, son escalares; las que además necesitan dirección, como la velocidad o la fuerza, son vectores.
Ahora mira de cerca un campo vectorial. Flechas tenues cubren el fondo, una en cada punto. Arrastra la sonda dorada y solo la flecha de ese lugar se ilumina en negrita, mientras abajo aparecen sus componentes horizontal y vertical como números. La flecha de un punto lleva a la vez hacia dónde y con qué fuerza. La inclinación de la flecha se encarga de la dirección y su longitud de la intensidad, y las dos cambian juntas al moverte. Este campo tiene forma de silla: atrae por una dirección y empuja hacia fuera por otra, así que la dirección cambia mucho cuando mueves la sonda de un lado a otro. Leer un campo vectorial es averiguar cuál es esta flecha en el punto que te interesa.
Un campo es, al fin y al cabo, una función: una regla que toma un punto (x, y) y devuelve una flecha. Así que, si cambias la regla, todas las flechas del espacio se reorganizan a la vez. Hay dos controles. El flujo hacia fuera s empuja desde el origen o atrae hacia él, y el giro r hace dar vueltas. Sube solo s y obtienes una fuente (source) que se extiende en todas direcciones; llévalo a valores negativos y se convierte en un sumidero (sink) que lo atrae todo. Sube solo r y obtienes un remolino; mezcla los dos y aparecen espirales que se enrollan hacia dentro o se desenrollan hacia fuera. Una sola línea de fórmula fija las flechas de todo el espacio: ese es el poder de trabajar con campos.
La verdadera razón de que los campos sean útiles es que determinan el flujo. Suelta una partícula en un campo y da un paso en la dirección de la flecha del punto donde está. Luego, desde su nueva posición, sigue la flecha de ese punto otro paso. Repítelo y se traza un camino; ese camino se llama línea de corriente (streamline). Arrastra la semilla dorada a distintos lugares y, al cambiar el punto de partida, cambia también el camino, pero en este campo cualquier salida se enrolla hacia dentro y acaba atraída al centro. El polvo que lleva el viento, las hojas sobre un río y las líneas en que se ordenan las limaduras de hierro en un campo magnético siguen todos las líneas de campos como este. A partir de la próxima lección empezamos a medir cómo cambia un campo de un punto a otro.