Un campo fija un valor en cada punto
Imagina un mapa del tiempo. Señala cualquier ciudad y ahí hay una temperatura escrita. Señala donde sea y también hay una flecha de viento, con dirección y fuerza. Eso es un campo: un valor fijado en cada punto del espacio. Si el valor es un número, es un campo escalar (temperatura); si es una flecha, es un campo vectorial (viento). Temperatura, presión, velocidad, esfuerzo — casi todo lo que trata la ingeniería es un campo. El cálculo vectorial es el lenguaje de los campos, y esta lección es su escena inicial.
Primero, un campo escalar. Cada punto lleva un solo número. Este es un mapa de temperatura, color más cálido para un valor más alto. Arrastra la sonda. Donde la pongas, la temperatura en ese punto se lee al instante. Lo clave: el valor ya estaba sentado en ese punto. La sonda no crea nada; solo lee lo que ya estaba ahí. Un valor puesto en cada punto del espacio, sin dejar ninguno fuera — eso es un campo.
Los campos vienen en dos tipos. Si lo fijado a un punto es un solo número, es un campo escalar; si es una flecha, es un campo vectorial. Alterna entre los dos. El lado escalar es un mapa de altitud — cada punto tiene solo un "qué tan alto". El lado vectorial es viento — en cada punto una flecha te dice hacia dónde y con qué fuerza sopla. El mismo espacio, distinto tipo de información fijada. Si solo importa un tamaño, como altura o temperatura, es escalar; si también importa una dirección, como velocidad o fuerza, es un vector.
Ahora mira de cerca un campo vectorial. Flechas tenues están dispuestas en cada punto del fondo. Arrastra la sonda y la flecha ahí cobra vida en negrita, con sus componentes (a lo ancho, hacia arriba) mostradas como números al lado. En un punto la flecha dice dos cosas a la vez: hacia dónde apunta (dirección) y qué tan fuerte es (longitud). Muévete a otro sitio y cambian tanto la dirección como la fuerza. "Leer" un campo vectorial es extraer qué es esta flecha en el punto que te interesa.
Un campo es, al final, una función: una regla que toma un punto (x, y) y devuelve una flecha (a lo ancho, hacia arriba). Cambia la regla y cada flecha se rehace de golpe. Hay dos perillas. El flujo s empuja desde o atrae hacia el origen; el giro r hace girar las cosas. Sube solo s y tienes una fuente que rocía hacia afuera; bájalo a negativo y tienes un sumidero que succiona hacia adentro. Sube solo r y se vuelve un remolino. Mezcla los dos y aparece una espiral hacia adentro. Una fórmula fija la flecha en todo el espacio — ese es el poder de trabajar con campos.
¿Por qué son tan útiles los campos? Porque fijan un flujo. Deja caer una partícula en el campo. Da un paso en la dirección que apunta la flecha del sitio donde está, y desde el nuevo sitio da otro paso siguiendo la flecha de ese punto. Repite, y se traza un camino. Este camino se llama línea de corriente (streamline). Arrastra la semilla. Cambia el inicio y el camino que sigue también cambia. Polvo en el viento, una hoja en un río, una brújula en un campo magnético — todos cabalgan el campo así. Desde la próxima lección empezamos a medir cómo cambia este campo de un punto a otro.