Producto escalar
Los buscadores y los sistemas de recomendación convierten textos y productos en vectores de cientos de números y juzgan si dos se parecen por cuánto apuntan los dos vectores hacia el mismo lado. La herramienta que mide esto con un solo número es el producto escalar, a·b = |a||b| cos θ, el producto de las dos longitudes por el coseno del ángulo entre ellos. Al dividir entre las dos longitudes solo queda cos θ, entre −1 y 1, que es la similitud del coseno: 1 significa la misma dirección, 0 un ángulo recto y −1 direcciones exactamente opuestas. Esta lección trata, por orden, cómo influyen el ángulo y la longitud en el producto escalar, el producto escalar visto como proyección, el signo del producto escalar, la similitud del coseno, que elimina la longitud, y la ortogonalidad, donde el producto escalar vale 0.
¿Cómo cambia el producto escalar con el ángulo entre los vectores? En la figura de abajo la flecha verde a está fija, apuntando a la derecha con longitud 2,50, y dos deslizadores cambian el ángulo y la longitud de la flecha azul b. Con los valores iniciales θ = 50° y |b| = 2,00 se lee a·b = 3,21 con la nota positivo (alineado), y al calcular 2,50 × 2,00 × cos 50° sale el mismo valor. Desde ese inicio, subir solo la longitud de b a 3,00 hace crecer el producto escalar en la misma proporción hasta 4,82, mientras que, con la longitud en 2,00, girar solo el ángulo a 90° da 0,00, y girarlo a 180° para que b apunte al lado contrario de a da −5,00. El pie de la línea discontinua trazada desde la punta de b hasta a se marca con un punto dorado, y el producto escalar es igual a la longitud de a por la distancia con signo hasta ese pie. Un solo producto escalar contiene, pues, tanto lo largos que son los dos vectores como lo mucho que apuntan al mismo lado, y para separar ambas cosas hay que dividir entre las longitudes.
El producto escalar también puede leerse como una proyección: en la figura de abajo a está tendido sobre el eje x con longitud 2, y el deslizador cambia solo el ángulo de b, de longitud 2,4, de 0° a 180°. La barra dorada que llega hasta el pie de la línea discontinua trazada desde la punta de b al eje x es la proyección de b, y en los 35° iniciales bajo la barra se escribe 1,97 mientras la fórmula bajo la figura dice a·b = |a| × proyección = 2 × 1,966 = 3,93. Cuanto más se inclina b hacia a, más larga es la proyección: a 0° da 2 × 2,400 = 4,80 y a 60° da 2 × 1,200 = 2,40, y a 90° la proyección vale 0, así que el producto escalar también es 0,00. Pasados los 90°, la barra dorada cruza a la izquierda del origen y la longitud de la proyección se vuelve negativa, de modo que a 120° el producto escalar también es negativo, 2 × −1,200 = −2,40. En resumen, a·b es cuánto se extiende b en la dirección de a, multiplicado por la longitud de a, y si a es un vector unitario el producto escalar es la propia longitud de la proyección.
El signo del producto escalar sigue una regla muy sencilla: en la figura de abajo a apunta a la derecha a lo largo del eje x, y el deslizador gira el ángulo θ de b de 0° a 360°. El plano queda dividido por una línea discontinua que pasa por el origen y es perpendicular a a, con el semiplano del lado de a pintado de verde y el otro de rojo, y el lado en que cae la punta de b decide el signo del producto escalar. En los 40° iniciales la lectura a·b = 4,04 lleva la nota de mismo lado, a 90° y 270°, donde b queda sobre la frontera, 0,00 aparece con la nota de ortogonal, y entre medias los valores son negativos y llegan al mínimo, −5,28, a 180°. El signo cambia exactamente a 90° y 270° porque cos θ pasa por 0 y cambia de signo en esos dos ángulos, mientras que las dos longitudes son siempre positivas y no intervienen en el signo. Un producto escalar positivo significa, por tanto, que los dos vectores apuntan más o menos al mismo lado, 0 un ángulo recto y uno negativo lados más o menos opuestos, y un clasificador lineal de aprendizaje automático decide igualmente a qué lado de una frontera cae un punto por el signo del producto escalar de un vector de pesos w con la entrada x más una constante.
La similitud del coseno es el producto escalar dividido entre las dos longitudes, que deja solo cos θ = a·b / (|a||b|), y siempre está entre −1 y 1. Los dos deslizadores de la figura de abajo cambian el ángulo y la longitud de b; en los 45° iniciales, cos θ = 0,707 y la aguja del indicador de abajo queda a la derecha, entre 0 y +1. Mover el deslizador de longitud de 0,50 a 3,00 deja la aguja y el 0,707 exactamente donde estaban, pero al girar el ángulo la aguja se desliza a 0,500 a 60°, 0,000 a 90° y −1,000 a 180°. La similitud del coseno ignora, por tanto, el tamaño y compara solo la dirección, de modo que un texto largo y uno corto sobre el mismo tema, cuyos números de palabras dan vectores de longitudes distintas, apuntan en direcciones parecidas y obtienen una similitud alta. Entre vectores cuyos elementos son todos 0 o mayores, como los recuentos de palabras, la similitud del coseno se queda entre 0 y 1, y si las incrustaciones se escalan de antemano a longitud 1, un solo producto escalar ya es la similitud del coseno, lo que acelera el cálculo.
Dos vectores cuyo producto escalar es 0 son ortogonales. En la figura de abajo b puede arrastrarse a cualquier punto del plano, mientras a está fijo, apuntando a la derecha con longitud 2,5. Al principio, b = (1,4; 2) da a·b = 3,50, y al llevar b cerca del eje y, de modo que el valor absoluto del producto escalar baje de 0,25, b se vuelve dorado, aparece un anillo a su alrededor y se muestra la palabra ortogonal. Como a está sobre el eje x, a·b = 2,5 × (la componente x de b), así que la nota de ortogonal aparece en una franja estrecha alrededor del eje y donde el tamaño de la componente x es menor que 0,1, y el producto escalar vale exactamente 0 solo sobre el propio eje y. Cuando el producto escalar de dos vectores es 0, son perpendiculares, y moverse a lo largo de una de las dos direcciones no cambia la componente en la otra. Como los vectores unitarios de los ejes x e y son ortogonales, cambiar una coordenada no altera la otra, y en las bases ortogonales, como los senos y cosenos de una serie de Fourier o los ejes del análisis de componentes principales, cada coeficiente puede hallarse por separado con un solo producto escalar.