Producto escalar
Escribe una palabra en un buscador y el motor no compara los textos letra por letra. Convierte cada texto en un vector y mira cuánto apuntan dos vectores en la misma dirección. La herramienta que mide ese «cuánto en la misma dirección» con un solo número es el producto escalar: a·b = |a||b|cos θ, las longitudes de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman. Quita las longitudes y solo queda cos θ: eso es la similitud del coseno. La misma dirección significa parecidos, un ángulo recto significa sin relación, y direcciones opuestas significan opuestos exactos. La búsqueda, la recomendación y las incrustaciones de palabras funcionan todas sobre esta única línea.
Deja fija la flecha verde a y maneja la flecha azul b con dos deslizadores. Uno cambia el ángulo de b y el otro su longitud. El valor de a·b que aparece abajo responde a los dos deslizadores. Alarga b y el valor crece en bloque: el efecto de la longitud. Gira b y el valor es positivo cuando b apunta hacia el mismo lado, 0 en ángulo recto y negativo cuando apunta hacia el lado contrario: el efecto de la alineación. El color de la lectura cambia entre verde, tenue y rojo según el signo, y el pie de b sobre a (el punto dorado) también se mueve. Puedes sentir con tus propias manos que un solo producto escalar lleva a la vez longitud y alineación.
El producto escalar también se puede ver de otra manera. Tiende a sobre el eje +x con longitud 2 y gira con el deslizador solo el ángulo de b: la barra dibujada en dorado es la sombra de b dejada caer directamente sobre a, su proyección. Al final de la barra aparece su longitud. Entonces a·b es exactamente |a| por la longitud de esa proyección. Inclina b hacia a y la sombra se alarga, así que el producto escalar es grande; endereza b y la sombra se acorta, así que el producto escalar disminuye. En ángulo recto la sombra vale 0, así que el producto escalar también vale 0. Pasado el ángulo recto, la sombra cae al otro lado y el producto escalar se vuelve negativo. Al final, el producto escalar mide cuánto se extiende un vector en la dirección de otro, como una longitud, y lo multiplica por |a|.
Mira el signo del producto escalar por separado y la regla es muy sencilla. Coloca a sobre el eje +x y barre con el deslizador el ángulo θ de b de 0 grados a 360 grados: el plano queda pintado en dos regiones. El semiplano del mismo lado que a (θ a menos de 90 grados) es verde, y allí el producto escalar es positivo. Exactamente a 90 grados y a 270 grados, en ángulo recto, vale 0. El semiplano opuesto (entre 90 grados y 270 grados) es rojo, así que el producto escalar es negativo. Gira b y la etiqueta de abajo cambia entre positivo, 0 y negativo, mostrando también el valor. Ves de un vistazo que un solo signo decide si dos vectores están del mismo lado, sin relación o en lados opuestos.
Ahora quita del todo la longitud: cos θ = a·b / (|a||b|). Este valor siempre está entre -1 y +1. Deja fijo a y cambia el ángulo y la longitud de b con los dos deslizadores, y aparece una escena decisiva. Alarga o acorta solo b y cos θ no se inmuta; la aguja del indicador trazado de -1 a +1 abajo se queda en su sitio. Gira en cambio el ángulo y la aguja se desliza. La similitud del coseno ignora el tamaño y mira solo la dirección. Por eso los buscadores y las incrustaciones juzgan si dos textos se parecen solo por la dirección a la que apuntan, sean largos o cortos.
Por último, atrapa tú mismo el momento en que el producto escalar vale exactamente 0. a está fija; arrastra la flecha azul b por el plano y el valor de a·b aparece abajo en tiempo real. Cuando b pasa por el lugar donde forma un ángulo recto con a, el valor cruza el 0, la flecha se ilumina en dorado y aparece la palabra «ortogonal». Un producto escalar 0 significa que las dos direcciones son perfectamente perpendiculares, es decir, sin relación e independientes. Esta propiedad es la que hace limpios los ejes de coordenadas. Como el eje x y el eje y son ortogonales, moverse por uno deja quieto el valor del otro. Toda base limpia nace de este producto escalar 0.