Fórmula de Euler

Primero, mira qué es e^iθ. Toma el punto dorado y hazlo girar por el círculo: el punto siempre está en el círculo de radio 1, el círculo unitario. El ángulo θ fija su posición. Lo que avanza en horizontal es cos θ y lo que avanza en vertical es sin θ; las líneas punteadas verde y naranja que bajan a los dos ejes marcan esas longitudes, y sus valores aparecen abajo. Así, e^iθ = cos θ + i sin θ, que es la fórmula de Euler. No hay nada que memorizar: recuerda el dibujo, e^iθ es el punto del círculo unitario en el ángulo θ. Con θ en 0, el punto es el 1 de la derecha; a 90 grados es la i de arriba; a 180 grados es el −1 de la izquierda. El r∠θ de la lección anterior con r=1 es exactamente este e^iθ, y un número complejo general multiplica su tamaño y se escribe r·e^iθ.

Ahora deja que el ángulo fluya con el tiempo. Pon ωt en lugar de θ y obtienes e^iωt: una flecha que gira por el círculo a velocidad constante ω a medida que pasa el tiempo. Eso es un fasor. Pulsa «Reproducir» y la flecha da vueltas; los botones de velocidad cambian lo rápido que gira. La clave es la sombra de la flecha. Su sombra sobre el eje real, Re(e^iωt) = cos ωt, se convierte en el punto verde que va y viene por el eje horizontal. Esa es exactamente la forma de onda de una tensión alterna o de una señal. Los 60Hz de un enchufe y una señal de radio son, en el fondo, la sombra de una flecha que gira así. Por eso la ingeniería eléctrica trata la corriente alterna con una sola flecha giratoria en lugar de senos y cosenos engorrosos. Girar es más fácil de manejar que sacudir.

Aquí queda claro por qué la exponencial es la notación natural del giro. Arrastra los dos puntos e^iθ₁ y e^iθ₂ del círculo unitario, y la flecha dorada muestra adónde va su producto. Aplica la propiedad más básica de las exponenciales, que al multiplicar se suman los exponentes, y obtienes e^iθ₁·e^iθ₂ = e^{i(θ₁+θ₂)}. El producto es el punto en el ángulo θ₁+θ₂. La regla que comprobamos a mano en la lección anterior, que al multiplicar se suman los ángulos, sale aquí en una sola línea de la ley de exponentes, sin nada que demostrar. Esta propiedad, que convierte la multiplicación en suma de ángulos, es la verdadera fuerza de la notación e^iθ. No hace falta memorizar las fórmulas trigonométricas de la suma: basta con sumar los exponentes.

Ahora empieza la ingeniería de verdad. Hasta aquí el giro era puro, así que el tamaño se mantenía en 1. Pero si añades una parte real al exponente, obtienes e^(σ+iω)t. Aquí ω sigue siendo la velocidad de giro, y la recién llegada σ es la tasa a la que cambia el tamaño, porque el tamaño varía como e^σt. Arrastra σ por la pista de abajo y la curva dorada cambia de forma. Con σ en 0, el tamaño no cambia y el punto simplemente da vueltas. Con σ negativa, el tamaño se encoge y la curva se enrolla hacia dentro en espiral: una oscilación que se apaga, un amortiguamiento. Con σ positiva, la espiral se abre hacia fuera: una oscilación que no deja de crecer. Una campana que suena y se desvanece, la respuesta transitoria de un circuito y si un puente colgante es estable o inestable dependen todos del signo de esta σ. e^(σ+iω)t reúne en un solo exponente el giro ω y el amortiguamiento σ.

Por último, reúne todo esto en un solo punto. Arrastra el punto hasta que θ sea exactamente media vuelta, π, o pulsa el botón «Lleva θ a π». e^iπ es el punto que dio media vuelta en el círculo unitario, es decir, −1. Cuando el punto llega allí, esa marca del círculo se ilumina en dorado. Así, e^iπ = −1, y sumando 1 a ambos lados queda e^iπ + 1 = 0. Es la identidad de Euler, a menudo llamada la ecuación más bella de las matemáticas. Es bella porque el número e, la unidad imaginaria i, la constante π, y el 1 y el 0, cinco constantes venidas de lugares totalmente distintos, se reúnen en una sola línea sin un símbolo de más. Para nosotros, sin embargo, no es un conjuro místico, sino simplemente un dibujo. Media vuelta da −1, y eso es todo. Cuando ves e^iθ como un giro, la ecuación que parecía más difícil se vuelve el paso más natural.