e^{iθ} es rotación sobre el círculo unitario
La lección pasada dijimos que multiplicar números complejos es rotar, y que cuando importa la rotación, la forma polar r∠θ resulta cómoda. Pero esa notación ∠θ — ¿no se siente un poco improvisada? La fórmula de verdad es otra cosa: eiθ. Meter un número imaginario en una exponencial suena absurdo al principio, y sin embargo el resultado es de una limpieza preciosa. eiθ es simplemente el punto del círculo unitario en el ángulo θ. Es igual a cos θ + i sin θ. ¿Por qué una exponencial, precisamente? Porque las exponenciales convierten la suma en multiplicación, así que la regla de rotación "los ángulos se suman" sale como una sola línea de álgebra de exponentes. Este eiθ es el cuerpo del fasor que la ingeniería eléctrica usa para la corriente alterna, y el lenguaje de la vibración amortiguada y las señales. En esta lección girarás tú mismo eiθ por el círculo unitario y sentirás por qué es la notación más natural que la rotación podría tener.
Primero, veamos qué es siquiera eiθ. Agarra el punto y gíralo por el círculo. El punto siempre está sobre el círculo de radio 1 — el círculo unitario. El ángulo θ es donde está el punto. Lo que avanzó en horizontal es cos θ; lo que avanzó en vertical es sin θ. Así que eiθ = cos θ + i sin θ — esa es la fórmula de Euler. Nada que memorizar. Solo recuerda la imagen: "eiθ es el punto del círculo unitario en el ángulo θ." Pon θ en 0 y el punto es 1 (derecha); a 90° es i (arriba); a 180° es −1 (izquierda). El r∠θ de la lección pasada con r = 1 es exactamente este eiθ, y un número complejo general es solo eso escalado por r, escrito r·eiθ.
Ahora deja que el ángulo fluya con el tiempo. Pon ωt en lugar de θ y obtienes eiωt: una flecha que da vueltas a un ritmo constante ω mientras corre el tiempo. Este es el fasor. Pulsa reproducir. La flecha gira y gira. La clave aquí es la sombra de la flecha. Su sombra proyectada sobre el eje real — Re(eiωt) = cos ωt — se desliza de un lado a otro, oscilando. Eso, justo eso, es la forma de onda de un voltaje de CA o de una señal. La corriente alterna de 60 Hz de tu enchufe, una señal de radio — por dentro son la sombra de una flecha que gira así. Por esto exactamente la ingeniería eléctrica maneja la CA con una sola flecha giratoria en vez de senos y cosenos engorrosos: girar es más fácil de manejar que sacudir.
Por qué la exponencial es la notación natural para la rotación queda claro justo aquí. Arrastra los dos puntos eiθ₁ y eiθ₂ sobre el círculo unitario. ¿Dónde cae su producto? Aplica la propiedad más básica de las exponenciales, "multiplicar suma los exponentes", y obtienes eiθ₁·eiθ₂ = ei(θ₁+θ₂). El producto es el punto en el ángulo θ₁+θ₂. La regla "multiplicar suma ángulos" que comprobaste a mano la lección pasada ahora sale, sin nada que demostrar, como una sola línea de álgebra de exponentes. Este poder de convertir la rotación en suma es la verdadera fuerza de la notación eiθ. No hace falta memorizar las incómodas fórmulas de suma trigonométrica — solo sumas los exponentes.
Ahora empieza la ingeniería de verdad. Hasta aquí ha sido rotación pura, con la magnitud fija en 1. Pero añade una parte real al exponente y obtienes e(σ+iω)t. Aquí ω sigue siendo el ritmo de giro; el recién llegado σ es el ritmo al que cambia el tamaño — porque la magnitud es eσt. Arrastra σ y observa. Cuando σ es 0 el tamaño no cambia, así que solo da vueltas al círculo. Cuando σ es negativo el tamaño se encoge sin parar, una espiral que se enrolla hacia dentro — una oscilación amortiguada que resuena mientras se apaga. Cuando σ es positivo es una espiral que se abre hacia fuera, una oscilación que no deja de crecer. Una campana golpeada que suena y se desvanece, la respuesta transitoria de un circuito, si un puente que se bambolea es estable o no — todo lo decide el signo de este σ. Empaquetar rotación (ω) y amortiguamiento (σ) en un solo exponente es justo lo que hace e(σ+iω)t.
Por último, reunamos todo esto en un solo punto. Arrastra el punto para que θ caiga exactamente en π — media vuelta. También puedes pulsar el botón "lleva θ a π". eiπ es el punto a media vuelta del círculo unitario, que es −1. Así que eiπ = −1, y sumando 1 a ambos lados queda eiπ + 1 = 0. Esta es la identidad de Euler, llamada a menudo la ecuación más bella de las matemáticas. ¿Por qué bella? Porque la constante natural e, la unidad imaginaria i, la constante del círculo π, y el 1 y el 0 — cinco constantes de lugares totalmente distintos — se reúnen en una línea sin nada que sobre. Pero para nosotros esto no es un conjuro místico; es solo una imagen. "Media vuelta cae en −1", eso es todo. Una vez que tienes el ojo para ver eiθ como rotación, la ecuación que parecía más difícil se vuelve el paso más obvio.