Los puntos fijos deciden el comportamiento a largo plazo
Hasta ahora dibujábamos cómo cambia x con el tiempo, trazando la gráfica sobre un eje temporal. Pero hay una imagen más potente para entender la oscilación y el flujo: borra el tiempo y dibuja en su lugar el estado mismo. El estado de un peso que oscila no se capta solo con la posición x — en la misma posición importa si va a toda velocidad o está a punto de detenerse. Así que junta posición x y velocidad x' en un par y mira (x, x') como un solo punto en un plano. Este es el plano de fase. A medida que corre el tiempo, este punto se mueve trazando una curva sobre el plano, y la ecuación diferencial del sistema fija, en cada punto, una flecha de adónde va ese punto a continuación. Aquí ocurre algo mágico. Conoce solo las clases de esos puntos especiales donde la flecha se vuelve cero — los puntos fijos — y podrás decir adónde acaba el sistema: si se asienta, estalla o gira para siempre. Y lo que decide esas clases es el valor propio que vimos en álgebra lineal. En esta lección toda la rama C se enlaza a través de los valores propios.
Primero, entiende el escenario llamado plano de fase. El eje horizontal es la posición x, el eje vertical es la velocidad x'. En cualquier instante el estado del sistema queda totalmente fijado por un punto en este plano, el punto de estado. Pulsa reproducir. El punto de estado de un sistema en oscilación amortiguada se mueve y traza una curva. Cuando el peso se empuja a un lado (x grande, velocidad cero), el punto está en el extremo derecho del eje horizontal; cuando el peso vuelve a toda prisa por el centro (x cero, velocidad grande), el punto sube por el eje vertical. Posición y velocidad se relevan así una y otra vez, y el punto gira y gira alrededor del origen. Como hay amortiguamiento, la energía se escapa, así que traza una espiral que se enrolla cada vez más hacia dentro, y finalmente es atraído al origen — el estado de reposo. La curva que oscilaba en la gráfica del eje temporal se vuelve aquí una limpia espiral que se enrolla hacia dentro. A cambio de borrar el tiempo, la forma entera del movimiento se ve de un vistazo.
¿Quién decide adónde va el punto de estado? La ecuación del sistema. Recuerda el campo de direcciones de C1: ahí, a cada punto se le daba una sola pendiente. En el plano de fase damos un paso más y le damos a cada punto una flecha entera — hacia dónde y cuán rápido se mueve el estado desde ese punto. Las ecuaciones acopladas x'=y, y'=−x−0.4y cubren todo el plano de flechas. Esto es el campo vectorial. Arrastra el punto inicial a donde sea. El punto de estado sigue la flecha donde está, luego sigue la flecha del punto siguiente, y así. Pisar fielmente a lo largo de las flechas traza una trayectoria. Igual que una hoja dejada en un río se va con la corriente, el punto de estado fluye a lo largo del campo vectorial. Empieces donde empieces, el flujo que llega a ese punto fija adónde va a continuación. El flujo unidimensional de C1 ha crecido aquí en un flujo bidimensional.
En todo el campo vectorial, exactamente una clase de punto es especial: el punto donde la longitud de la flecha es cero, el punto fijo. Ahí el estado no se mueve a ninguna parte, así que una vez colocado se queda para siempre — un equilibrio. Y sin embargo dos puntos fijos pueden tener caracteres completamente distintos. Toma el péndulo. El lugar donde cuelga suavemente hacia abajo es un punto fijo; déjalo ahí y se queda quieto, y un toque pequeño solo lo pone a girar cerca sin abandonar la zona. Esto es un centro, un punto fijo estable. Pero el lugar con el péndulo en equilibrio boca arriba también es un punto fijo. Equilíbralo a la perfección y en teoría se queda; pero empújalo el ancho de un pelo y se desploma y huye lejos. Esto es una silla, un punto fijo inestable. Usa los botones para señalar los dos puntos fijos. El destino del sistema depende de en qué dominio de qué punto fijo cae el inicio, y de qué clase de punto fijo es.
La forma del flujo cerca de un punto fijo se clasifica en solo unas pocas clases. Recórrelas con las pestañas. Un nodo estable succiona cada flecha directo al punto fijo; empújalo y vuelve a su sitio sin protestar. Una espiral estable se enrolla hacia dentro mientras gira — vuelve, pero oscilando por el camino, exactamente la oscilación amortiguada de C2. Una silla atrae a lo largo de una dirección pero lanza fuera a lo largo de otra; casi todo inicio acaba huyendo lejos, un punto inestable. Un centro ni atrae ni expulsa, girando la misma órbita para siempre — oscilación sin amortiguar. Una espiral inestable es lo contrario, girando mientras lanza cada vez más afuera. Estas pocas son todo el repertorio que un sistema lineal bidimensional puede mostrar. Incluso un sistema complicado se comporta como uno de este catálogo cerca de un punto fijo. Entonces, ¿qué decide qué sistema es de qué tipo?
Por fin todo se reúne en un solo lugar. Lo que decide el tipo de un punto fijo son los valores propios de la matriz que linealiza el sistema ahí — el jacobiano. En álgebra lineal, los valores propios eran cuánto estira una transformación a lo largo de qué dirección. Aquí deciden, cerca del punto fijo, a lo largo de qué dirección y cuán rápido el punto de estado es empujado afuera o atraído adentro. Los valores propios son las raíces de la cuadrática λ²−τλ+Δ=0, donde τ es la traza de la matriz y Δ su determinante. Arrastra el punto en el plano (τ, Δ). Todo el retrato de fase cambia. Si ambos valores propios son reales negativos (Δ>0, τ<0, discriminante positivo), toda dirección se encoge — un nodo estable. Si los valores propios son complejos (discriminante negativo), entra la rotación de A2 y C2 y se vuelve una espiral; parte real negativa da una espiral estable, positiva una inestable. Valores propios imaginarios puros con parte real cero dan un centro, oscilación eterna. Si los valores propios tienen signos opuestos (Δ<0), una dirección atrae y otra lanza — una silla. Las raíces características de C2 eran de hecho la versión unidimensional de estos valores propios del jacobiano, y la exponencial compleja de A2 era la identidad de la espiral. Los valores propios del álgebra lineal, la rotación de los números complejos y la estabilidad de las ecuaciones diferenciales se encuentran todos en esta única imagen.