Plano de fases

Primero, entiende el escenario llamado plano de fases. El eje horizontal es la posición x y el vertical, la velocidad x'. En cualquier instante, el estado del sistema queda totalmente fijado por un punto de este plano, el punto de estado. Pulsa «Reproducir» y el punto de estado de un oscilador amortiguado se mueve en dorado dejando un rastro. Cuando el peso está desplazado hacia un lado (x grande, velocidad 0), el punto está a la derecha del eje horizontal; cuando el peso vuelve a toda velocidad por el centro (x 0, velocidad grande), el punto llega a la parte inferior del eje vertical, porque se mueve hacia la izquierda y su velocidad es negativa. Mientras posición y velocidad se intercambian, el punto gira alrededor del origen en sentido horario. Con amortiguamiento, la energía se escapa, así que dibuja una espiral que se enrolla hacia dentro y acaba atraído al origen, el estado de reposo. Al llegar al origen, el punto vuelve a su lugar inicial y empieza a dibujar de nuevo. La curva que se agitaba en la gráfica temporal se convierte aquí en una única espiral limpia hacia dentro. Al borrar el tiempo, ves de un vistazo la forma completa del movimiento.

Adónde va el punto de estado lo deciden las ecuaciones del sistema. Recuerda el campo de direcciones de antes: allí cada punto recibía una pendiente. El plano de fases va un paso más allá y da a cada punto una flecha completa: en qué dirección, y con qué rapidez, se mueve el estado desde allí. Las ecuaciones acopladas x'=y, y'=−x−0.4y cubren todo el plano de flechas. Eso es un campo vectorial. Arrastra el punto de partida adonde quieras y el punto de estado sigue la flecha de ese lugar, y luego la del lugar siguiente. Si pasas fielmente de flecha en flecha, se dibuja una trayectoria: la parte dorada intensa es el camino por delante y la tenue, el camino ya recorrido. Igual que una hoja caída en un río flota con la corriente, el punto de estado fluye a lo largo del campo vectorial. El flujo 1D que vimos antes se ha convertido aquí en un flujo 2D.

En todo el campo vectorial hay una clase de punto especial: el punto donde la flecha tiene longitud 0, el punto fijo. Allí el estado no se mueve a ninguna parte, así que, una vez colocado, se queda para siempre: un equilibrio. Sin embargo, los puntos fijos pueden tener caracteres completamente distintos. La figura es el retrato de fases de un péndulo, y el lugar donde cuelga recto hacia abajo es un punto fijo. Si lo dejas allí, se queda quieto; si le das un toque, solo gira alrededor sin salir de la zona. Un punto así se llama centro, y cuenta como estable. El lugar donde el péndulo está de pie, invertido, también es un punto fijo. Perfectamente equilibrado, en teoría se quedaría quieto, pero empújalo un pelo y se cae y se aleja mucho. Un punto así se llama silla, un punto fijo inestable. Ilumina por turnos los dos puntos fijos con los dos botones y se dibujan trayectorias doradas que pasan alrededor de cada uno. El destino de un sistema depende de en qué zona de influencia de un punto fijo está el punto de partida y de qué tipo es ese punto fijo.

Las formas del flujo cerca de un punto fijo se clasifican limpiamente en unos pocos tipos. Pulsa las pestañas una a una para recorrerlos como en una guía de campo. En un nodo estable, todas las flechas se hunden directamente en el punto fijo, así que tras un toque vuelve a casa sin rechistar. Una espiral estable entra girando: vuelve, pero balanceándose, y eso es justamente la oscilación amortiguada de las lecciones anteriores. Una silla atrae por una dirección pero expulsa por otra, así que casi todos los puntos de partida acaban alejándose mucho: un punto inestable. Un centro ni atrae ni expulsa; gira por la misma órbita para siempre, una oscilación sin amortiguamiento. La espiral de la pestaña «Inestable» gira al revés y sale despedida cada vez más hacia fuera. Estos pocos tipos son todo el comportamiento que puede mostrar un sistema lineal 2D. Incluso un sistema complicado se comporta, cerca de un punto fijo, como una de estas entradas. Entonces, ¿qué decide de qué tipo es un sistema dado?

Por fin todo se reúne. Lo que decide el tipo de un punto fijo son los valores propios de la matriz que se obtiene al linealizar allí el sistema, la jacobiana. En álgebra lineal, los valores propios decían cuánto estira una transformación en cada dirección. Aquí deciden en qué dirección, y con qué rapidez, el punto de estado es expulsado del punto fijo o atraído hacia él. Los valores propios son las raíces de la ecuación de 2.º grado λ²−τλ+Δ=0, donde τ es la traza de la matriz y Δ su determinante. Arrastra el punto en el plano (τ, Δ) de arriba y el retrato de fases de abajo cambia por completo, con los valores propios y el nombre del tipo escritos al lado. La parábola punteada es la frontera donde los valores propios pasan de reales a complejos. Si los dos valores propios son reales negativos (Δ>0, τ<0, discriminante positivo), todas las direcciones se encogen: un nodo estable. Si son complejos (discriminante negativo), entra el giro de la línea de los números complejos y obtienes una espiral: estable si la parte real es negativa, inestable si es positiva. Los valores propios imaginarios puros, con parte real 0, dan un centro, una oscilación que dura para siempre. Los valores propios de signos opuestos (Δ<0) dan una silla, que atrae por un lado y expulsa por el otro. Las raíces características de la lección anterior eran en realidad exactamente estos valores propios de la jacobiana (una ecuación de 2.º orden es un sistema 2D así), y la exponencial compleja era la verdadera identidad de la espiral. Los valores propios del álgebra lineal, el giro de los números complejos y la estabilidad de las ecuaciones diferenciales se encuentran todos en este único dibujo.