Integral de línea

Dentro de un campo con vórtice, el inicio azul A y el final azul B quedan fijos. Arrastra el punto dorado del medio y el camino se dobla, y el trabajo W a lo largo de él se vuelve a calcular al momento. Un tramo se pinta de verde donde la flecha de ese sitio te ayuda a avanzar, y de naranja donde te frena. Dobla el camino a favor del vórtice y toda la ruta se vuelve verde, así que W sube y es positivo. Dóblalo en contra y toda la ruta se vuelve naranja, así que W baja y es negativo. Sigues yendo del mismo A al mismo B, y aun así W sube y baja. El inicio y el final solos no fijan la respuesta. El número dorado bajo la figura es ese trabajo, y se mueve con el camino mientras arrastras.

Ahora dos caminos de A a B quedan uno junto al otro, un arco que da una vuelta alta y otro que da una vuelta baja. Pulsa un botón y el camino activo se ilumina mientras el otro se apaga, y el trabajo de cada camino y la diferencia entre ambos aparecen como números. El campo es un vórtice que gira, así que el camino de arriba y el de abajo no coinciden aunque unan los mismos dos puntos. Esa diferencia es igual a la circulación de una vuelta por el lazo cerrado que forman los dos caminos. En un campo que rota, el camino cambia la respuesta, y los dos números lo muestran.

Mira un punto cada vez para ver cómo se acumula de verdad una integral de línea. Este campo es un viento constante hacia el norte, y el camino es un arco que sube y luego baja. Mueve el deslizador t y aparecen juntas dos flechas en el punto elegido. La flecha del viento es dorada, la tangente unitaria en la dirección de avance es azul, y su producto escalar F·t̂ es el aporte de ese instante. Al subir, el viento empuja tu espalda y F·t̂ suma una cantidad positiva. Pasada la cresta, al bajar, caminas contra el viento y F·t̂ resta. Desliza y la suma parcial llega a su máximo en la cresta y luego vuelve a bajar. La integral de línea es cada uno de estos F·t̂ pequeños sumados a lo largo del camino.

Aquí se separan los dos tipos de campo. Pulsa un botón y la diferencia aparece enseguida. Un campo conservativo es el gradiente de algún potencial, así que el trabajo a lo largo de la recta dorada de A a B es igual al trabajo a lo largo del arco azul de rodeo. La respuesta es solo la diferencia entre el inicio y el final, y el camino no importa. Cambia al vórtice y los dos valores se separan. Los mismos dos puntos, los mismos dos caminos, y una sola propiedad del campo lo decide todo. La línea bajo los dos números se vuelve verde y dice que los valores son iguales, o se vuelve naranja y dice que difieren. Esa línea es la marca de un campo conservativo.

Por último, recorre el camino y mira cómo se acumula el trabajo un tramo cada vez. Con el mismo viento hacia el norte de antes, un arco que sube y baja está cortado en tramos cortos. Cada pulsación del botón de un paso avanza un tramo. La parte que ya caminaste se vuelve dorada, y la que queda delante sigue tenue. A la izquierda, al subir, el viento empuja tu espalda y suma trabajo positivo. A la derecha, pasada la cresta, caminas contra el viento y el trabajo se vuelve negativo. Se muestra el signo del tramo que acabas de pisar, y la barra de abajo es verde cuando el total es positivo y naranja cuando es negativo. Reinicia y lo recorres otra vez desde el inicio. El recuento bajo la barra muestra cuánto del camino llevas, y el botón de un paso se detiene al llegar. Una integral de línea es este proceso de sumar un tramo tras otro.