Una integral de línea suma a lo largo de un camino
Imagina caminar por un campo con viento. Cuando el viento empuja tu espalda, cada paso sale gratis; cuando sopla de frente, tienes que esforzarte. Paso a paso, suma cuánto ayudó el viento local a tu avance y obtienes la ayuda total a lo largo del camino. Eso es una integral de línea, ∫ F·dr: el trabajo que hace un campo, acumulado a lo largo de una ruta. Lo curioso es que, aun con el mismo inicio y final, el total puede cambiar segun el camino que tomaste. Y sin embargo, en ciertos campos especiales el camino no importa en absoluto. Esta lección muestra de dónde viene esa diferencia.
Dentro de un campo que gira, deja fijos el inicio A y el final B, y arrastra el punto dorado del medio para curvar la ruta. El trabajo a lo largo del camino se recalcula al instante. Cada pequeño tramo de la ruta se tiñe de verde donde la flecha local ayuda tu avance y de naranja donde lo estorba. Curva el camino para ir con el remolino y toda la ruta se vuelve verde mientras W sube a positivo; cúrvalo en contra y toda la ruta se pone naranja mientras W baja a negativo. Aunque vayas del mismo A al mismo B, W sube y baja. Esa es la primera señal de que el inicio y el final por sí solos no fijan la respuesta.
Ahora pon dos rutas de A a B una al lado de la otra: un arco que sube alto y otro que baja. Pulsa el interruptor para cambiar la ruta activa, y se ilumina brillante mientras la otra se atenúa. El trabajo a lo largo de cada ruta y la diferencia entre ambas aparecen como números. Como el campo es un remolino, la ruta alta y la baja dan valores distintos aunque unan los mismos dos puntos. Esa diferencia es exactamente la circulación una vuelta alrededor del lazo cerrado que forman las dos rutas juntas. En un campo que rota, ves con tus propios ojos que el camino cambia la respuesta.
Mira punto por punto cómo se acumula de verdad una integral de línea. Esta vez el campo es un viento constante que sopla al norte, y el camino es un arco que sube y luego vuelve a bajar. El deslizador t elige un punto en la curva. Ahí aparecen juntos la flecha del viento (dorada) y la tangente unitaria que apunta hacia donde viajas (azul), y su producto escalar F·t̂ es la contribución en ese instante. En la subida el viento va a tu espalda, así que F·t̂ suma en positivo; al coronar la cima y bajar vas contra el viento, y entonces resta. Empuja el deslizador y mira cómo la suma acumulada crece hasta su máximo en la cima y luego se encoge. Una integral de línea es, al final, todos estos diminutos F·t̂ sumados a lo largo del camino.
Aquí llega el contraste clave. Alterna el tipo de campo. Un campo conservativo es el gradiente de algún potencial, así que el trabajo por una ruta recta de A a B y por un arco que da un rodeo salen exactamente iguales. La respuesta es solo la diferencia de los valores inicial y final; el camino es irrelevante (independiente del camino). Pero cambia al campo que gira y las dos rutas se separan (dependiente del camino). Los mismos dos puntos, las mismas dos rutas, y sin embargo una sola propiedad del campo lo decide todo. Mira cómo el indicador "¿independiente del camino?" se enciende y se apaga. Esa es justamente la marca de un campo conservativo.
Por último, camínalo tú mismo para ver cómo se acumula el trabajo un tramo a la vez. En el mismo viento del norte de antes, un arco que sube y baja se parte en tramos cortos. Cada pulsación del botón de paso te adelanta una muesca al siguiente tramo; el camino recorrido se ilumina en dorado mientras el resto queda tenue. Subiendo por la izquierda el viento va a tu espalda y suma trabajo positivo; al coronar la cima y bajar por la derecha vas contra el viento y resta. Un signo muestra si el tramo que acabas de pisar sumó o restó, y la barra de abajo apila el trabajo acumulado y luego cede. El botón de reinicio te deja caminarlo otra vez desde el principio. Confirmas con la mano que una integral de línea es, al final, este proceso de ir sumando un tramo a la vez.