Una ecuación diferencial es un mapa de pendientes
Con solo oír las palabras "ecuación diferencial" a la gente le da dolor de cabeza. Miras algo como y'=x−y y piensas: "ni siquiera sé qué es y, y sin embargo su derivada está en la ecuación — ¿por dónde empiezo?" Pero el punto de partida es sorprendentemente simple. y' es la pendiente de la curva en ese punto. Así que una ecuación y'=f(x,y) es un mapa que te dice, en cada punto del plano, "pasa por aquí con esta pendiente." Dibuja una flechita en cada punto y todo el plano se llena de flechas de pendiente — un campo de direcciones. Hallar una solución significa empezar en algún sitio y seguir fielmente esas flechas para trazar una curva. Antes de memorizar fórmula alguna, mira este "mapa de flujo" que dibuja una ecuación diferencial, y el resto se vuelve mucho más fácil. En esta lección seguirás ese mapa tú mismo.
Primero, mira el mapa que dibuja una ecuación diferencial. Usemos y'=x−y. Esta ecuación fija, en cada punto (x, y) del plano, la pendiente que una curva debe tener ahí, a saber x−y. En el punto (2, 0) la pendiente es 2; en (0, 2) es −2. Así que si dibujas una línea corta en esa dirección de pendiente en cada punto, la pantalla se llena de pequeños trazos. Esto es el campo de direcciones. Arrastra la sonda por ahí. A medida que el punto se mueve, ves cómo se determina la pendiente en ese sitio, como un número. Aún no hemos hallado una solución. Solo estamos viendo que "hacia dónde ir desde cualquier punto" ya está fijado en todas partes. Una ecuación diferencial no te da la respuesta directamente — te da indicaciones como estas.
Ahora sigue ese mapa. Suelta un punto inicial, da un paso en la dirección que apunta la flecha, lee la nueva pendiente ahí y da otro paso — sigue fielmente así y se traza una curva. Esa es la solución de la ecuación diferencial. Arrastra el punto inicial por ahí. La curva siempre corre paralela a los trazos, fluyendo a lo largo del campo como un río que sigue el terreno. Por cualquier punto que pase, la pendiente de la curva ahí es exactamente x−y. Puedes ver que una solución no es una fórmula mística sino "el rastro que deja fluir en la dirección prescrita en cada momento." Así es exactamente como una computadora resuelve una ecuación diferencial también: siguiendo las flechas en pasos pequeños.
Un campo de direcciones no tiene una curva solución — tiene infinitas. Mira la pantalla: las curvas llenan todo el campo como cabello peinado. La misma ecuación diferencial, pero un punto inicial distinto sigue una curva distinta. Entonces, ¿cuál de todas esas curvas es "mi respuesta"? La condición inicial lo decide. Arrastra el tirador en el eje y para cambiar el valor de y(0). Una condición — "cuando x=0, y vale esto" — escoge exactamente una de la densa familia de curvas. La ecuación diferencial te da toda la familia de curvas; la condición inicial selecciona una. Por eso un problema real es "ecuación + condición inicial" como conjunto: necesitas el punto de partida para que adónde fluye quede fijado en una sola respuesta.
Mira por separado uno de los campos de direcciones más importantes: y'=ky, donde la pendiente es proporcional al propio valor de y. La clave es "cuanto más hay, más rápido cambia." Cuando y es grande la pendiente es grande; cuando y es pequeña la pendiente es pequeña. Arrastra k y observa. Con k positivo obtienes una curva que se empina hacia arriba y crece explosivamente — crecimiento exponencial. Con k negativo se aplana y muere hacia 0 — decaimiento exponencial. La solución es y=ekx. Esa e de la lección 2 surge naturalmente aquí, porque la respuesta a "algo que crece en proporción a su propio valor" es exactamente la función exponencial. Crecimiento de población, desintegración radiactiva, la carga y descarga de un circuito RC, el interés compuesto — todo es la sola línea y'=ky. Este campo de direcciones tan simple es por qué la exponencial aparece tan a menudo en la naturaleza.
Por último, una forma de resolver exactamente a mano: separación de variables. Mira el campo de direcciones de y'=−xy y las flechas giran alrededor del origen; las soluciones son círculos concéntricos. ¿Cómo lo confirmas con álgebra? Escribe y' como dy/dx y separa las variables a lados opuestos, x con x y y con y: y dy = −x dx. Una vez separadas las variables así, puedes simplemente integrar ambos lados. y²2 = −x²2 + C, que se ordena en x²+y²=C — círculos, exactamente. Pulsa el botón para desplegar este proceso. El "flujo que gira alrededor" que mostró el campo de direcciones queda confirmado por la separación de variables como la fórmula exacta x²+y²=C. La imagen (campo de direcciones) y el cálculo (separación) apuntan a la misma respuesta. Una ecuación diferencial cuyas variables se separan limpiamente se resuelve con una sola integración así.