Campo de direcciones
Basta oír «ecuación diferencial» para que duela la cabeza. Ante una ecuación como y'=x−y, no sabes qué es y y, sin embargo, contiene la derivada de y, así que ¿por dónde empezar? El punto de partida es sorprendentemente sencillo: y' es la pendiente de la curva en ese punto. Así, una ecuación y'=f(x,y) es un mapa que le dice a cada punto del plano «pasa por aquí con esta pendiente». Traza una rayita en cada punto y el plano se llena de marcas de pendiente: un campo de direcciones. Hallar una solución es partir de algún punto y seguir fielmente esas marcas trazando una curva. Mira este mapa del flujo antes de memorizar fórmulas y lo demás resulta mucho más fácil. En esta lección recorres ese mapa tú mismo.
Primero, mira el mapa que dibuja una ecuación diferencial. Toma y'=x−y: en cada punto (x, y) del plano, esta ecuación fija en x−y la pendiente que debe tener la curva. En el punto (2, 0) la pendiente es 2; en el punto (0, 2) es −2. Traza en cada punto una rayita en esa dirección y la pantalla se llena de pequeños trazos; eso es el campo de direcciones. Arrastra la sonda dorada de un lado a otro: el trazo de ese lugar se engrosa en dorado y abajo aparece, como número, la pendiente en ese punto. Todavía no se ha hallado ninguna solución. En esta etapa solo ves que, en cada punto, ya está decidido hacia dónde ir. Una ecuación diferencial no te da la respuesta directamente: te da indicaciones como estas.
Ahora sigue ese mapa. Marca un punto de partida, da un paso en la dirección que indica el trazo, lee allí la nueva pendiente y da otro paso; si sigues así con fidelidad, se dibuja una curva. Esa curva es una solución de la ecuación diferencial. Arrastra el punto de partida dorado y la curva, que se extiende hacia ambos lados desde él, siempre corre paralela a los trazos, siguiendo el campo como un río sigue el terreno. Pase por el punto que pase, la pendiente de la curva allí es exactamente x−y. Se ve que una solución no es una fórmula misteriosa, sino el rastro de fluir en cada instante en la dirección indicada. Así es también como las computadoras resuelven ecuaciones diferenciales: siguiendo los trazos a pasos pequeños.
Un campo de direcciones no tiene una sola curva solución, sino infinitas. Las curvas tenues de la pantalla llenan todo el campo como si lo hubieran peinado. Es la misma ecuación diferencial, pero un punto de partida distinto sigue una curva distinta. Entonces, ¿cuál de todas esas curvas es tu respuesta? Lo decide la condición inicial. Arrastra el control del eje vertical para cambiar y(0), y una sola condición, el valor en x=0, elige exactamente una curva de la densa familia y la ilumina en dorado. La ecuación diferencial da la familia entera de curvas, y la condición inicial escoge una. Por eso, en los problemas reales, la ecuación y la condición inicial van juntas. Solo cuando conoces el punto de partida queda decidido hacia dónde irá el flujo.
Mira por separado el campo de direcciones más importante: y'=ky, donde la pendiente es proporcional al propio valor de y. La clave es «cuanto más hay, más rápido cambia». Si el valor es grande, la pendiente es grande, y si es pequeño, la pendiente es pequeña. Arrastra k por la pista de abajo: con k positiva obtienes una curva que se empina al subir y crece de forma explosiva, el crecimiento exponencial. Con k negativa la curva se aplana y se apaga hacia 0, el decaimiento exponencial. La solución es y=ekx. La e que vimos en la línea de los números complejos aparece aquí con toda naturalidad, porque la respuesta a «crece en proporción a sí mismo» es exactamente la función exponencial. El crecimiento de una población, la desintegración radiactiva, la carga y descarga de un circuito RC y el interés compuesto son todos la única línea y'=ky. Este sencillo campo de direcciones es la razón por la que las exponenciales aparecen tan a menudo en la naturaleza.
Por último, mira una forma de resolver exactamente a mano: la separación de variables. En el campo de direcciones de y'=−xy, los trazos giran alrededor del origen, y las soluciones son los círculos concéntricos dorados. Para confirmarlo con fórmulas, escribe y' como dy/dx y lleva las x a un lado y las y al otro. y dy = −x dx. Una vez separadas las variables, basta con integrar los dos lados. y²2 = −x²2 + C, que reordenado da x²+y²=C: un círculo. Pulsa el botón «Ver la separación» y los pasos se despliegan uno a uno. La separación de variables confirma, con la fórmula exacta x²+y²=C, el flujo circular que dibujó el campo de direcciones. El dibujo, el campo de direcciones, y el cálculo, la separación de variables, señalan la misma respuesta. Una ecuación diferencial cuyas variables se separan limpiamente se resuelve así, con una sola integración.