Rotacional de un campo
Fija un molinillo diminuto en una corriente, con un alfiler, para que no se lo lleve el agua. Si gira donde está, ese punto tiene rotacional. El rotacional (curl) es la intensidad de ese giro en el sitio. En sentido antihorario es positivo y en sentido horario es negativo. La divergencia preguntaba cuánto se escapa de un punto. El rotacional pregunta si el mismo campo gira ahí. Los remolinos de un fluido, la maquinaria que gira y la prueba de si un campo es conservativo dependen de este solo número. El molinillo de las figuras de abajo es el rotacional de ese punto.
Un campo contiene dos vórtices. Arrastra la sonda y aparece una flecha curva pequeña. Esa flecha es el sentido en que gira el molinillo en el punto. Sobre el vórtice izquierdo la flecha se dobla en sentido antihorario y se vuelve dorada. Sobre el derecho se dobla en sentido horario y se vuelve azul. Justo en medio de los dos el rotacional es casi 0, así que la flecha se encoge. Una curva más larga y más gruesa significa un giro más fuerte. Donde la flecha se encoge hasta desaparecer, no hay rotacional.
El signo del rotacional es la dirección del giro. Los botones cambian entre tres campos. F=[−y, x] es un remolino sólido antihorario, así que ∇×F=+2, y F=[y, −x] es horario, así que −2. El tercero, F=[y, 0], es un cortante que solo se desliza de lado. Las flechas parecen rectas paralelas, y aun así el rotacional es −1, no 0. Si la fila de arriba va más rápido que la de abajo, un molinillo atrapado entre ellas gira. Que las flechas se vean rectas no significa que no haya rotacional. La circulación sumada alrededor del círculo fijo lleva el mismo signo.
El rotacional también es la diferencia de dos piezas. La primera, ∂v/∂x, es cuánto cambia la velocidad vertical al ir al este. La segunda, −∂u/∂y, es cuánto cambia la velocidad horizontal al ir al norte. Arrastra la sonda y dos barras crecen por separado. La verde es ∂v/∂x y la naranja es −∂u/∂y. Su suma es el rotacional ∇×F, justo la fórmula bajo la figura, ∂v/∂x − ∂u/∂y = ∇×F. Con una sola barra grande ya hay rotacional. Cuando las dos comparten signo, el rotacional alcanza su máximo, como en el núcleo de un vórtice. Cuando los signos se cancelan, el rotacional cae hacia 0.
El rotacional es una cantidad en un punto, y se mide dibujando un lazo pequeño. Suma cuánto gira el flujo a lo largo del borde y tienes la circulación. Arrastra el centro del lazo y encoge el radio con el deslizador. La circulación misma crece cuando el lazo crece, pero la circulación dividida por el área del lazo se acerca a un valor al encogerlo. Ese valor es el rotacional en el centro. El rotacional es el giro por unidad de área cuando el lazo se ha reducido a un punto. Bajo la figura se leen, una bajo otra, la circulación, la circulación por área y el rotacional en el centro, y al bajar el radio la lectura del medio se acerca a la última. Sobre el vórtice izquierdo se acerca a un número positivo. Sobre el derecho, a uno negativo. Las flechas tenues detrás del lazo son el campo, y las flechas cortas del borde son solo la parte del flujo que corre a lo largo del lazo.
La última figura pinta el rotacional mismo. El dorado es antihorario, así que positivo. El azul es horario, así que negativo. Flechas tenues muestran el flujo. El deslizador separa los dos vórtices. Acércalos y las dos manchas de rotacional se desgastan en el centro, así que la rotación se difumina. Sepáralos y la mancha dorada y la azul se dividen con nitidez. Reúne el rotacional en cada punto y el mapa muestra qué partes del campo giran en sentido antihorario y cuáles en sentido horario. El trabajo acumulado a lo largo de estas flechas sigue en la lección de la integral de línea.