El rotacional es el giro local
Imagina flotar una rueda de paletas diminuta en agua en movimiento, clavada en un punto para que no se vaya a la deriva. Si la rueda gira en su sitio, ahí hay rotacional. El rotacional mide justamente eso: la fuerza del giro local. Girar en sentido antihorario cuenta como positivo, en sentido horario como negativo. Donde la divergencia preguntaba "¿se esparce?", el rotacional pregunta "¿gira en redondo?" Dos caras del mismo campo. Esta sola cantidad gobierna los remolinos de un fluido, la maquinaria que gira, y la mismísima prueba de si un campo es conservativo.
Aquí hay un campo con dos vórtices. Arrastra la sonda. Una pequeña flecha curva aparece en la sonda — esa es la dirección en que gira la rueda de paletas en ese punto. Sobre el vórtice izquierdo la flecha se curva en sentido antihorario y brilla dorada (rotacional positivo); sobre el derecho se curva en sentido horario y se vuelve azul (negativo). Justo a medio camino entre los dos vórtices el rotacional es casi cero, así que la flecha se encoge. Cuanto más larga y gruesa la flecha curva, más fuerte es el giro en ese sitio.
El signo del rotacional es sencillamente la dirección de giro. Alterna entre tres campos. F=[−y, x] rota en sentido antihorario como un remolino sólido, así que ∇×F=+2; F=[y, −x] es horario, así que −2. El tercero, F=[y, 0], es un flujo de cortante que solo se desliza de lado, y aunque cada flecha parece una línea recta y paralela, su rotacional es −1, no cero. Cuando la fila de arriba se mueve más rápido que la de abajo, una rueda de paletas atrapada entre ellas gira. El punto clave: que las flechas se vean rectas no significa que no haya rotacional. La circulación sumada alrededor de un círculo fijo confirma el mismo signo.
El rotacional, también, es la diferencia de dos piezas. La primera, ∂v/∂x, es cuánto cambia la velocidad hacia arriba al ir al este; la segunda, −∂u/∂y, es cuánto cambia la velocidad a lo ancho al ir al norte. Arrastra la sonda y dos barras crecen por separado: verde es ∂v/∂x, naranja es −∂u/∂y. Su suma es el rotacional ∇×F, justo como dice la fórmula ∂v/∂x − ∂u/∂y = ∇×F bajo la imagen. Incluso una barra sola produce rotacional; cuando las dos se suman con el mismo signo, el giro alcanza su máximo como el núcleo de un vórtice. Cuando signos opuestos se cancelan, el rotacional cae hacia cero.
El rotacional es una cantidad en un solo punto — entonces, ¿cómo se mide? Dibuja un lazo pequeño y suma cuánto rodea el flujo su borde (la circulación). Arrastra el centro del lazo y encoge su radio con el deslizador. La circulación cruda crece a medida que el lazo se agranda, pero la circulación dividida por el área del lazo (circulación/área) se asienta en un valor a medida que lo encoges. Ese valor es exactamente el rotacional en el centro. Esta es la verdadera definición del rotacional: el giro por unidad de área cuando el lazo colapsa a un punto. Colócalo sobre el vórtice izquierdo y converge a un número positivo; sobre el derecho, a uno negativo.
Ahora aquí hay un mapa que pinta el rotacional mismo en color. Dorado es rotación antihoraria (positiva), azul es horaria (negativa), y flechas tenues muestran el flujo. El deslizador separa los dos vórtices. Acércalos y las dos manchas de rotacional se carcomen en el centro, así que la rotación se difumina; sepáralos y las manchas dorada y azul se dividen con nitidez. Reúne el rotacional en cada punto y obtienes un mapa de rotacional, donde ves de un vistazo qué partes del campo giran en sentido antihorario y cuáles en horario. La próxima lección pasa a la integral de línea, midiendo el trabajo hecho al seguir estas flechas.