Euler avanza paso a paso por la pendiente
Una ecuación diferencial te dice, en cada punto, hacia dónde y qué tan rápido cambian las cosas — la pendiente. Es el mismo campo de pendientes que conociste en la lección de campos de direcciones. El problema es que la mayoría de las ecuaciones diferenciales no tienen una solución en fórmula limpia. ¿Entonces cómo se resuelve una? La respuesta de Euler es casi groseramente simple. Lee la pendiente donde estás, camina un paso corto (h) recto en esa dirección, vuelve a leer la pendiente en el nuevo punto y da otro paso. Repite, y trazas la curva solución como una cadena de pequeños segmentos. Pasos más cortos caen más cerca de la solución real pero cuestan más pasos de cálculo. Precisión contra costo, en un tira y afloja. Esta idea de una sola línea es el punto de partida de casi toda simulación, desde el pronóstico del tiempo hasta los motores de física de videojuegos y las trayectorias de cohetes.
Las marcas grises son el campo de direcciones — la pendiente que la ecuación diferencial asigna en cada punto. Aquí la ecuación es y'=y, que crece en proporción a su propio valor, así que las marcas se empinan a medida que subes. Euler da un paso recto a lo largo de una marca desde el inicio, vuelve a leer la marca donde aterriza, da otro paso, y así, dibujando una cadena de segmentos. La solución real es ex (la curva gris). Reduce el paso h y los puntos se agolpan mientras la cadena se ciñe a la curva. Agranda h y los puntos se separan y la cadena se hunde bajo la curva, porque los tramos rectos no pueden seguir el modo en que la curva se arquea hacia arriba.
Toma solo el extremo de la misma ecuación. El punto gris es el valor real e³≈20.1; el punto dorado es donde aterriza Euler. La barra roja entre ellos es el error acumulado (global). Arrastra el control de h hacia arriba y la barra y el número se disparan en tiempo real. Esta es la explosión del error de truncamiento: en cada paso la recta yerra la curva por poco, y esos pequeños errores se apilan paso a paso en una gran brecha al final. Al revés, reduce h a la mitad y el error casi se reduce a la mitad también, porque Euler tiene precisión de primer orden — su error es proporcional a h. Cuanto más llena la barra de abajo, más fuerte la advertencia.
Esta vez la ecuación es y'=cos x, cuya solución real es sin x. Como la solución oscila, la debilidad de Euler se ve con claridad. Con un h grande la cadena dorada infla los picos por encima de la curva seno gris y su fase se retrasa un poco. Sigue la oscilación por un período, luego dos, y el desajuste se acumula. Reduce h y las dos curvas se superponen poco a poco. La lección aquí es que el mismo método muestra el error de forma distinta según el carácter de la solución. Una solución que se dobla rápido y oscila necesita pasos pequeños con más urgencia que una que crece suavemente.
Ahora el caso verdaderamente aterrador. La ecuación es y'=−ky, cuya solución real es un decaimiento que se desvanece suavemente a 0. Euler multiplica y por (1−hk) en cada paso. Pero una vez que h·k supera 2, el valor absoluto de ese factor pasa de 1, así que aunque la solución real va hacia 0, la solución numérica cambia de signo y crece más y más. Eso es la explosión. Entre 1 y 2 oscila mientras se desvanece; por debajo de 1 decae mansamente. Esto no es un problema de precisión sino de estabilidad. Significa que reducir el paso no es solo cuestión de precisión; también es un seguro que evita la divergencia. Esto importa sobre todo en ecuaciones rígidas (stiff).
¿Hay un paso más inteligente en vez de solo uno más pequeño? Sí. Euler confía solo en la pendiente del inicio y marcha recto. RK2 (el método del punto medio) primero avanza hasta la mitad, muestrea la pendiente otra vez en el punto medio y da un paso completo usando esa pendiente mejor. El costo se duplica, pero la precisión salta. Compara dorado (Euler) y azul (RK2) con el mismo h: el azul abraza el verdadero ex mucho más de cerca. El error de Euler es proporcional a h (primer orden), mientras que el de RK2 es proporcional a h² (segundo orden), así que reducir el paso a la mitad recorta el error a una cuarta parte. RK4, el estándar de trabajo, usa esta idea cuatro veces para alcanzar precisión h⁴. La próxima lección muestra el mismo principio actuando en la integración.