Método de Euler
Una ecuación diferencial dice, en cada punto, hacia dónde cambian las cosas y a qué velocidad. Ese es el mapa de pendientes de un campo de direcciones. La mayoría de las ecuaciones diferenciales no tienen una solución cerrada y limpia. El método de Euler es sencillo. Lee la pendiente donde estás, camina un paso recto y corto (h) en esa dirección, y en el punto nuevo vuelve a leer la pendiente y da otro paso. Repítelo y la curva solución se dibuja como una polilínea. Un paso más corto se queda más cerca de la solución verdadera, pero hay más pasos y el coste sube. La exactitud y el coste tiran uno contra el otro. Esta sola línea es el punto de partida de casi toda simulación, desde un pronóstico del tiempo hasta la física de un juego y la trayectoria de un cohete. El deslizador de las figuras elige la longitud de ese paso. Cuanto más densos son los puntos, más se queda la polilínea junto a la curva verdadera, y un paso largo sale barato solo hasta que la línea se descuelga de la verdad.
Las marcas grises son el campo de direcciones. Cada una es la pendiente que la ecuación asigna en ese punto. Aquí la ecuación es y'=y, un crecimiento proporcional al propio valor, así que las marcas se empina al subir. Euler da un paso recto a lo largo de la marca en el inicio, lee la marca al llegar y da otro paso, dibujando una polilínea. La solución verdadera es la curva gris ex. Encoge el paso h y los puntos se densifican y la polilínea se ciñe a la curva. Agranda h y hay menos puntos y la polilínea se descuelga por debajo de la curva. Una recta no puede seguir la curva mientras se dobla hacia arriba.
Mira solo el extremo de la misma ecuación. El punto gris es el valor verdadero e³≈20.1, y el punto dorado es donde llega Euler. La barra naranja entre ellos es el error global acumulado. Sube el deslizador de h y la barra y el número se disparan enseguida. Eso es el error de truncamiento explotando. Un pequeño desvío, donde la recta deja la curva en cada paso, se apila en una brecha grande al final. Corta h por la mitad y el error también se reduce aproximadamente a la mitad. Euler tiene exactitud de orden 1, así que el error es proporcional a h. Cuanto más llena está la banda bajo la barra, más alta es la alarma.
Esta ecuación es y'=cos x, y la solución verdadera es sin x. Oscila, y ahí se ve la debilidad de Euler. Con un h grande la polilínea dorada infla los picos por encima de la curva gris de sin y su fase se retrasa un poco. Sigue la oscilación un periodo y luego otro y el desajuste se acumula. Encoge h y las dos curvas se acercan. El mismo método muestra su error de distinta manera según el carácter de la solución. Una solución que se dobla y oscila necesita un paso corto más que una solución que crece con suavidad.
Ahora un caso más delicado. La ecuación es y'=−ky, y la solución verdadera es un decaimiento que se asienta con suavidad hacia 0. Euler multiplica y por (1−hk) en cada paso. Cuando h·k supera 2, el valor absoluto de ese factor supera 1, así que la solución numérica cambia de signo y crece aunque la verdadera vaya a 0. Explota en rojo. Entre 1 y 2 oscila en naranja mientras se asienta, y por debajo de 1 decae en verde y en silencio. Esto no es un problema de exactitud. Es un problema de estabilidad. Acortar el paso no es solo precisión. También es el seguro que frena una explosión. Importa sobre todo en una ecuación rígida (stiff).
Hay un paso más inteligente, no solo uno más pequeño. Euler confía solo en la pendiente del inicio y camina recto. RK2, el método del punto medio, camina hasta la mitad, mide allí la pendiente una vez más y luego da el paso completo con esa pendiente mejor. El trabajo se duplica, pero la exactitud sube. Compara el Euler dorado con el RK2 azul al mismo h y el azul se queda mucho más cerca de la solución verdadera ex. El error de Euler es de orden 1, proporcional a h, mientras RK2 es de orden 2, proporcional a h², así que cortar el paso por la mitad reduce el error a 1/4. El estándar práctico RK4 usa la misma idea cuatro veces y alcanza un orden mayor. El mismo principio aparece cuando la integración numérica mide un área por trozos. La curva azul de esa comparación es la que gasta una lectura extra de la pendiente para quedarse sobre la solución verdadera. Un paso largo abarata el cálculo solo mientras la polilínea no se separe de la curva gris.