La resonancia hace explotar la amplitud
Cualquiera que se haya subido a un columpio conoce la resonancia en su cuerpo. Mueve los pies al azar y el columpio se tambalea torpemente, pero impúlsate justo a tiempo con el retorno del columpio y subes cada vez más alto. Añade un pequeño empujón con el mismo ritmo cada vez, y el balanceo se acumula y se acumula hasta hacerse enorme. Esto es la resonancia. En la lección C2 dijimos que todo sistema oscilante tiene su propia frecuencia natural ω₀. Aplica una fuerza periódica Fcos(ωt) desde fuera, y el tamaño de la respuesta depende de cuán cerca esté la frecuencia de la fuerza ω de ω₀. En el momento en que ω coincide con ω₀, la amplitud se dispara como si explotara. Sintonizar una radio, el colapso de un puente, un microondas calentando agua — todo es este único fenómeno. En esta lección girarás tú mismo la frecuencia de excitación y verás, con tus ojos, cuándo y cómo explota la amplitud.
Primero, prepara el escenario. El sistema oscilante de C2 era un sistema cerrado: tócalo una vez y resuena solo y se apaga. Ahora añadimos una fuerza externa. Alguien desde fuera sigue empujando con un ritmo constante. En la ecuación, aparece un Fcos(ωt) a la derecha: m x'' + c x' + k x = Fcos(ωt). Aquí ω es el ritmo del que empuja, la frecuencia de excitación — distinta de ω₀, el ritmo al que el propio sistema quiere oscilar. Pulsa reproducir. La flecha roja de fuerza empuja a izquierda y derecha, y la masa, arrastrada por esa fuerza, oscila. Mira de cerca y la masa oscila exactamente al mismo ritmo que la fuerza, pero la sigue un pelín tarde. Este retraso se llama desfase. Espera un momento y la aspereza inicial se asienta, y se fija en un estado estacionario, oscilando regularmente con una amplitud fija. Lo que queremos saber es exactamente cuán grande es esa amplitud de estado estacionario.
Ahora la pregunta clave. Mantén igual la fuerza F del empujón y cambia solo el ritmo ω — ¿cómo cambia la amplitud? Aun empujando con la misma fuerza, el resultado es completamente distinto según el ritmo. Dibuja la frecuencia de excitación ω en el eje horizontal y la amplitud de estado estacionario en el vertical, y obtienes esta curva de resonancia. Arrastra ω y súbela despacio. Cuando ω es muy baja, la fuerza es tan lenta que la masa simplemente la sigue; la amplitud es pequeña y plana. Sube ω hacia ω₀ y la amplitud trepa abruptamente — el ritmo de cada empujón coincide con el ritmo al que el sistema quiere oscilar, así que la energía se acumula eficientemente. Sube ω más allá de ω₀ y ahora la fuerza es demasiado rápida para que la masa la siga, y la amplitud se encoge de nuevo. Al final, la amplitud es una curva que forma un pico cerca de ω₀. El ritmo lo es todo.
Mira de cerca el punto exacto donde se forma el pico, ω = ω₀. Es el punto donde la frecuencia de excitación coincide con precisión con la frecuencia natural del sistema. Compara los tres casos con los botones. Cuando ω está por debajo o por encima de ω₀ la masa oscila moderadamente, pero cuando ω = ω₀, empujar con la misma fuerza hace el balanceo abrumadoramente mayor. ¿Por qué aquí, precisamente? Piensa en el columpio. Empuja justo en el momento en que el columpio avanza y la fuerza del empujón añade el 100% al movimiento. Cuando el ritmo está desfasado, algunos empujones ayudan y otros estorban, y se comen entre sí. En ω = ω₀ cada empujón se suma en exactamente la misma dirección, así que la energía no se escapa y sigue acumulándose. Así es como una fuerza pequeña construye una amplitud enorme. Este es el corazón de la resonancia.
Entonces, ¿de verdad crece la amplitud sin límite? El amortiguamiento lo detiene. El amortiguamiento ζ de C2, esa pérdida que quema energía, contiene la explosión de la resonancia. Arrastra ζ y cámbialo. Cuando el amortiguamiento es muy pequeño, el pico es altísimo y agudo. La energía que se acumula en cada ciclo apenas se escapa, así que crece enorme solo en exactamente el ritmo ω₀. Aumenta el amortiguamiento y el pico baja y se ensancha. La pérdida es grande, así que la amplitud no puede acumularse indefinidamente, y responde moderadamente en un rango amplio alrededor de ω₀. La agudeza de este pico se llama el factor Q. Q alto (amortiguamiento pequeño) responde estrecha y agudamente; Q bajo responde ancha y romamente. Una radio necesita Q alto para que las emisoras vecinas no se cuelen y se fije en una frecuencia con claridad; un puente necesita Q bajo para no colapsar aunque el viento llegue a coincidir. El diseño es, al final, una cuestión de dónde colocar este Q.
Este único fenómeno se esconde por todo el mundo. El columpio está del lado amable: añadir una fuerza pequeña al ritmo para disfrutar de una gran amplitud — usar la resonancia a propósito. El puente está del lado aterrador. En 1940 el puente de Tacoma Narrows colapsó cuando una fuerza periódica creada por el viento coincidió con la frecuencia natural del puente y la amplitud creció sin control. Por eso los puentes y edificios se diseñan para que su frecuencia natural no se solape con fuerzas externas comunes, con suficiente amortiguamiento para mantener Q bajo. La radio está del lado ingenioso. Innumerables señales de emisión llegan a la antena a la vez, pero sintoniza la frecuencia natural del circuito a la emisora que quieres y solo esa señal se amplifica grande por resonancia y se selecciona. Girar el dial significa cambiar la ω₀ del circuito. La resonancia, bien usada, es una herramienta; sufrida sin saberlo, una catástrofe.