Resonancia en ecuaciones diferenciales
Cualquiera que se haya subido a un columpio conoce la resonancia con el cuerpo. Si impulsas las piernas al azar, el columpio se mece a medias, pero si lo haces justo al ritmo con que vuelve, sube cada vez más alto. Añade una fuerza pequeña con el mismo ritmo cada vez y el balanceo se acumula hasta hacerse enorme. Eso es la resonancia. En la lección anterior vimos que todo sistema que vibra tiene su propia frecuencia natural ω₀. Aplica una fuerza exterior periódica Fcos(ωt) y el tamaño de la respuesta depende de lo cerca que esté la frecuencia ω de esa fuerza de ω₀. En el instante en que ω coincide con ω₀, la amplitud se dispara como si explotara. Sintonizar una radio, el derrumbe de un puente y la caja de un instrumento que amplifica su sonido están todos ligados a este único fenómeno. En esta lección cambias tú mismo la frecuencia de excitación y ves cuándo y cómo explota la amplitud.
Primero, prepara el escenario. El sistema vibrante de la lección anterior era cerrado: le das un toque y oscila y se apaga por sí solo. Ahora añade una fuerza externa: alguien desde fuera sigue empujando con un ritmo constante. En la ecuación aparece Fcos(ωt) en el lado derecho: m x'' + c x' + k x = Fcos(ωt). Aquí ω es el ritmo del que empuja, la frecuencia de excitación, y es distinta de ω₀, el ritmo al que el propio sistema quiere oscilar. Pulsa «Reproducir» y la flecha roja de la fuerza empuja a izquierda y derecha mientras la masa dorada del resorte verde es arrastrada por ella. Si te fijas, la masa oscila al mismo ritmo que la fuerza pero va un poco por detrás; esa diferencia de tiempo se llama retraso de fase. En un sistema real, el desorden inicial se calma y se llega a un estado estacionario que oscila con regularidad y amplitud constante, y lo que dibuja la figura es justamente ese estado estacionario. Lo que queremos saber es cuán grande es esa amplitud estacionaria.
Ahora la pregunta central. Mantén la misma intensidad de la fuerza y cambia solo el ritmo ω: ¿cómo cambia la amplitud? Empujando con la misma intensidad, el resultado es completamente distinto según el ritmo. Pon la frecuencia de excitación ω en el eje horizontal y la amplitud estacionaria en el vertical, y obtienes esta curva de resonancia. Arrastra ω despacio hacia arriba en la pista de abajo y el factor de amplitud a esa frecuencia aparece como un número. Cuando ω es muy baja, la fuerza es tan lenta que la masa simplemente la sigue, y la amplitud es pequeña y plana. Sube ω hacia ω₀ y la amplitud trepa con fuerza, porque el ritmo del empuje encaja con el ritmo al que el sistema quiere oscilar y la energía se acumula con eficiencia. La marca dorada de la pista señala ese ω₀. Sube ω más allá de ω₀ y ahora la fuerza es demasiado rápida para que la masa la siga, así que la amplitud vuelve a bajar. Al final, la amplitud traza una curva con un pico cerca de ω₀. El ritmo lo es todo.
Mira de cerca el lugar donde se forma el pico, ω = ω₀: el punto en que la frecuencia de excitación coincide exactamente con la frecuencia natural del sistema. Compara los tres casos con los tres botones: cuando ω está por debajo o por encima de ω₀, la masa oscila con moderación, pero cuando ω = ω₀ la oscilación se vuelve abrumadoramente grande aunque el empuje tenga la misma intensidad. El factor de amplitud que aparece abajo deja clara la diferencia. ¿Por qué precisamente aquí? Piensa en el columpio. Empuja justo en el momento en que avanza y el 100 % del empuje se suma al movimiento. Si el ritmo no coincide, unos empujones ayudan y otros estorban, y se restan entre sí. En ω = ω₀ cada empujón se suma en la misma dirección, así que la energía no se escapa y sigue acumulándose. Por eso una fuerza pequeña produce una amplitud enorme. Este es el corazón de la resonancia.
¿Crece entonces la amplitud sin límite? El amortiguamiento lo impide. El amortiguamiento ζ de la lección anterior, la pérdida que se come la energía, frena la explosión de la resonancia. Arrastra ζ por la pista de abajo: cuando el amortiguamiento es muy pequeño, el pico es altísimo y afilado como una aguja. Casi nada de la energía acumulada se escapa, así que la respuesta se vuelve enorme solo exactamente al ritmo ω₀. Aumenta el amortiguamiento y el pico se vuelve más bajo y ancho. Las pérdidas son grandes, así que la amplitud no puede acumularse sin límite, y el sistema responde con moderación en un rango amplio cerca de ω₀. La agudeza de este pico se llama factor Q, y su valor aparece abajo junto con ζ. Un Q grande significa poco amortiguamiento y una respuesta estrecha y aguda; un Q pequeño, una respuesta ancha y roma. Una radio necesita un Q grande para captar una sola frecuencia con nitidez sin que se mezclen las emisoras vecinas, mientras que un puente necesita un Q pequeño para no derrumbarse cuando el viento acierta por casualidad con el ritmo. El diseño se reduce a dónde poner este Q.
Este único fenómeno se esconde por todo el mundo. El columpio es el lado amable: añadir una fuerza pequeña a tiempo para disfrutar de una gran amplitud, usar la resonancia a propósito. El puente es el lado temible. En 1940, el puente de Tacoma Narrows se derrumbó cuando el viento se acopló a la torsión del tablero y siguió inyectándole energía hasta que la amplitud creció sin control. En rigor fue un flameo (flutter), en el que el propio viento amplifica la vibración, pero el esqueleto es el mismo: energía que se acumula porque llega al ritmo de la vibración. Por eso los puentes y los edificios se diseñan para que sus frecuencias naturales se alejen de las fuerzas externas habituales, con amortiguamiento suficiente para mantener Q bajo. La radio es el lado astuto. Innumerables señales de emisoras llegan a la vez a la antena, y al ajustar la frecuencia natural del circuito a la emisora que quieres, solo esa señal se amplifica mucho por resonancia y queda seleccionada. Girar el dial es cambiar el ω₀ del circuito. Bien usada, la resonancia es una herramienta; ignorada, un desastre.