Qué es un vector
Si oyes «vector», quizá pienses en una flecha, o quizá en un par de números como (3, 2). Si alguna vez dudaste cuál de los dos es el vector de verdad, la respuesta es que lo son los dos, y además son lo mismo. Un vector es un solo movimiento: avanza tanto en esta dirección. Si dibujas ese movimiento obtienes una flecha; si anotas cuánto avanza en cada eje obtienes un par de números. Con esta idea clara, la suma de vectores y las matrices que vienen después se leen con el mismo lenguaje. Esta lección también aclara qué son î y ĵ, las dos flechas que la lección posterior «Las matrices son transformaciones» usa como clave para leer una matriz.
Leído como movimiento, (3, 2) es una instrucción: avanza 3 casillas a la derecha y 2 hacia arriba. La flecha azul de la figura dibuja esa instrucción, y el par de números de abajo escribe la misma instrucción con números. Arrastra la punta de la flecha y el par cambia de media en media casilla, porque el dibujo y los números describen siempre el mismo movimiento. En el dibujo, la dirección y la longitud se ven de un vistazo; con números, las cuentas son fáciles. Usa la forma que más convenga al problema y acostúmbrate a pasar de una a otra. Esa soltura es el primer paso.
Sumar vectores es encadenar movimientos. Avanza según a y, desde ese punto, avanza según b: el lugar donde terminas es a + b. Cada flecha empieza donde termina la anterior, y por eso este método se llama regla de punta a cola (tip-to-tail). En la figura, el segmento naranja punteado sale de la punta de la flecha verde a, y la flecha azul que va del origen al final de b es la suma. Arrastra el punto verde o el azul y las componentes de la ecuación de abajo cambian con él. Con números es aún más sencillo, basta sumar componente a componente: (3, 2) + (1, 4) es (4, 6). Encadenar movimientos en orden: eso es todo lo que hay en la suma de vectores.
Multiplicar un vector por un número lo deja en la misma recta y solo cambia la distancia. Multiplicado por 2 llega el doble de lejos; multiplicado por 0,5 recorre la mitad en la misma dirección. Si lo multiplicas por un número negativo, la longitud se escala según su magnitud, pero la dirección se invierte por completo. Mueve el deslizador de s: la flecha gris se queda quieta mientras la flecha escalada se alarga y se acorta sobre la línea punteada. En cuanto s se vuelve negativo, esa flecha cruza al otro lado y se pone roja. Multiplicar un vector por un número deja la dirección tal como está y ajusta solo la distancia.
Ahora viene la idea central de esta lección. Toma dos flechas básicas: î, una unidad a la derecha, y ĵ, una unidad hacia arriba. Con solo estirar y sumar estas dos, llegas a cualquier punto del plano. (3, 2) usa 3 veces î y 2 veces ĵ, así que se escribe 3î + 2ĵ. Arrastra el punto azul y la figura traza el camino hasta él: primero por î sobre la línea verde punteada desde el origen, luego hacia arriba por ĵ sobre la línea naranja punteada. La ecuación de abajo indica cuántas î y cuántas ĵ forman el punto. Todo vector del plano se reduce a una receta: tanto de î, tanto de ĵ. Por eso mismo, la lección posterior «Las matrices son transformaciones» puede afirmar que una matriz queda determinada en cuanto sabes adónde van î y ĵ. Todo punto es una combinación de î y ĵ.
¿Hasta dónde se llega, entonces, con î y ĵ? Hasta todo el plano, y eso es lo que significa «espacio 2D». Un espacio es el conjunto de todos los puntos que se alcanzan estirando y sumando dos direcciones distintas. Si las dos direcciones están sobre la misma recta, la cosa cambia: por mucho que estires y sumes, nunca sales de esa recta. Al principio la figura muestra la u verde y la w naranja apuntando en direcciones distintas, con todo el escenario sombreado. Pulsa «Volver paralelos» y w gira hasta la recta de u; la región sombreada se reduce a una sola franja a lo largo de esa recta. Un espacio son todos los puntos que alcanzan tus direcciones, y solo las direcciones independientes abren el plano completo. Esta observación, que las direcciones paralelas lo aplastan todo, conduce directamente al determinante 0 de la lección «El determinante es el factor de escala del área».