Factorización QR
Las columnas de una matriz suelen estar torcidas. No son perpendiculares y sus longitudes difieren. QR parte esas columnas en dos piezas. Primero Gram-Schmidt las endereza en vectores unidad perpendiculares. Esa pieza es Q, una rotación o una reflexión pura que no toca ni la longitud ni el ángulo. Lo que se recortó por el camino, las longitudes y los solapes, se reúne en R, y R es siempre un triángulo lleno solo por arriba. A = QR. Una rotación y un triángulo. Esta sola línea es el camino estable para resolver mínimos cuadrados, y es una factorización que el álgebra lineal numérica llama a menudo. Una rejilla que sigue siendo cuadrada es la prueba de que Q es una rotación. Las columnas torcidas son A y las enderezadas son Q. La recta que minimiza la suma de errores al cuadrado es la respuesta que halla QR. El tablero y la rejilla cuentan la misma historia: Q gira y R decide la forma.
Avanza los pasos con los botones. El paso 0 son las dos columnas de A, a1 y a2. Están oblicuas y sus longitudes difieren. En el paso 1 Gram-Schmidt endereza el par. q1 es la dirección de a1 acortada a longitud unidad, y q2 es lo que queda de a2 tras quitar la sombra hacia q1, luego escalado a longitud unidad. Ahora q1 y q2 son exactamente perpendiculares y ambos tienen longitud 1, así que su producto escalar marca 0. En el paso 2 aparece R. R = Qᵀ A, así que es triangular superior de forma automática, y la entrada inferior izquierda r21 es 0. A son las columnas torcidas, Q las columnas ortogonales enderezadas, y R el triángulo pequeño que las une. Eso es A = QR.
Las dos columnas de Q son vectores unidad perpendiculares. Actúa con Q sobre el plano y la rejilla no se deforma. Solo gira entera. Gira el ángulo con el deslizador y las celdas ni se estiran ni se aplastan. Un cuadrado sigue siendo un cuadrado, porque se conservan la longitud y el ángulo. Pulsa el botón de reflexión y la figura se voltea como un espejo, y las columnas siguen siendo unidades ortogonales, así que la forma no cambia. Esa es la definición de una matriz ortogonal. QᵀQ = I. La QᵀQ de abajo se queda en la identidad en cualquier ángulo. Es la prueba de que Q es solo una rotación o una reflexión.
¿Por qué R se llena solo como un triángulo superior? Cada entrada es rij = qi · aj, la longitud de la sombra de la columna original j sobre la dirección enderezada i. Enciende una entrada y se muestra el producto escalar. Lo importante son las entradas bajo la diagonal. r21 = q2 · a1, y q2 es la parte ortogonal que queda tras quitar a1, así que es exactamente perpendicular a a1. Perpendicular significa que el producto escalar es 0, así que r21 es 0. En general la dirección posterior qi no se usa sobre una columna anterior aj, donde j es menor que i. Esa columna ya estaba expresada por las direcciones anteriores. Así que todo bajo la diagonal es 0, y R es triangular superior.
Ahora sostén R y reconstruye A al revés. Fija Q como una rotación de 20 grados y mueve las tres entradas de R con los deslizadores, y A = QR se vuelve a dibujar al momento. r11 fija la longitud de la primera columna a1, así que subirla alarga a1. r22 es cuánto alcanza la segunda dirección, la longitud de la parte ortogonal. r12 es el cizallamiento, cuánto se inclina la segunda columna hacia la primera dirección. Esos tres números guardan las longitudes y la inclinación, y Q solo gira el resultado 20 grados entero. R toma la forma y Q toma la dirección.
El lugar donde QR trabaja de verdad es mínimos cuadrados. La recta que mejor ajusta los datos es la que hace mínima la suma de los cuadrados de los residuos, los segmentos verticales punteados. Puedes mover la pendiente y la ordenada con los deslizadores y reducir esa suma. Los textos suelen construir AᵀA y resolver las ecuaciones normales, y AᵀA es sensible al error, así que a menudo es numéricamente inestable. QR se salta ese paso. Mete A = QR y las ecuaciones normales se reducen a R x = Qᵀ b. R es un triángulo, así que una sustitución hacia atrás termina el trabajo. Pulsa el botón y la recta salta a esa solución QR, y la suma de errores al cuadrado es mínima. Obtienes la misma respuesta con más estabilidad sin construir AᵀA.